人在江湖

相關(guān)概念：

相對(duì)誤差（Relative Error）：絕對(duì)誤差與真值的比值

所謂殘差（residual error），應(yīng)該是在回歸時(shí)，實(shí)際y值與回歸曲線得到的理論y值之間的差值。 標(biāo)準(zhǔn)殘差，就是各殘差的標(biāo)準(zhǔn)方差。

異方差性（heteroscedasticity ）是為了保證回歸參數(shù)估計(jì)量具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，經(jīng)典線性回歸模型的一個(gè)重要假定是：總體回歸函數(shù)中的隨機(jī)誤差項(xiàng)滿足同方差性，即它們都有相同的方差。如果這一假定不滿足，則稱線性回歸模型存在異方差性。

條件方差（Conditional variance）：只要把原來(lái)求方差時(shí)的概率密度函數(shù)換成條件密度函數(shù)就行了意義就是當(dāng)X發(fā)生時(shí)，Y發(fā)生的方差

自相關(guān)函數(shù)（Autocorrelation function，縮寫(xiě)ACF）：

將一個(gè)有序的隨機(jī)變量系列與其自身相比較，這就是自相關(guān)函數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的定義。每個(gè)不存在相位差的系列，都與其自身相似，即在此情況下，自相關(guān)函數(shù)值最大。如果系列中的組成部分相互之間存在相關(guān)性（不再是隨機(jī)的），則由以下相關(guān)值方程所計(jì)算的值不再為零，這樣的組成部分為自相關(guān)。

E ......... 期望值。

X_i ........ 在t(i)時(shí)的隨機(jī)變量值。

μ_i ........ 在t(i)時(shí)的預(yù)期值。

X_{i + k} .... 在t(i+k)時(shí)的隨機(jī)變量值。

μ_{i + k} .... 在t(i+k)時(shí)的預(yù)期值。

σ² ......... 為方差。

所得的自相關(guān)值R的取值范圍為[-1,1],1為最大相關(guān)值，-1則為最大不相關(guān)值。

白噪聲序列：

隨機(jī)變量X（t）（t=1，2，3……），如果是由一個(gè)不相關(guān)的隨機(jī)變量的序列構(gòu)成的，即對(duì)于所有S不等于T，隨機(jī)變量Xt和Xs的協(xié)方差均為零，則稱其為純隨機(jī)過(guò)程。對(duì)于一個(gè)純隨機(jī)過(guò)程來(lái)說(shuō)，若其期望和方差均為常數(shù)，則稱之為白噪聲過(guò)程。白噪聲過(guò)程的樣本實(shí)稱成為白噪聲序列，簡(jiǎn)稱白噪聲。之所以稱為白噪聲，是因?yàn)樗桶坠獾奶匦灶愃疲坠獾墓庾V在各個(gè)頻率上有相同的強(qiáng)度，白噪聲的譜密度在各個(gè)頻率上的值相同。

差分：差分有前向差分和后向差分。前向差分：函數(shù)的前向差分通常簡(jiǎn)稱為函數(shù)的差分。對(duì)于函數(shù)，如果：

，

則稱為的一階前向差分。只所以稱為前向差分是因?yàn)橐詘為參考點(diǎn)，x+1在x的前面。逆向差分：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果：

則稱為的一階逆向差分。

時(shí)間序列的特征

非平穩(wěn)性（nonstationarity，也譯作不平穩(wěn)性，非穩(wěn)定性）：即時(shí)間序列變量無(wú)法呈現(xiàn)出一個(gè)長(zhǎng)期趨勢(shì)并最終趨于一個(gè)常數(shù)或是一個(gè)線性函數(shù)

波動(dòng)幅度隨時(shí)間變化（Time－varying Volatility）：即一個(gè)時(shí)間序列變量的方差隨時(shí)間的變化而變化

雖然單獨(dú)看不同的時(shí)間序列變量可能具有非穩(wěn)定性，但按一定結(jié)構(gòu)組合后的新的時(shí)間序列變量卻可能是穩(wěn)定的，即這個(gè)新的時(shí)間序列變量長(zhǎng)期來(lái)看，會(huì)趨向于一個(gè)常數(shù)或是一個(gè)線性函數(shù)。例如，時(shí)間序列變量X(t)非穩(wěn)定，但其二階差分卻可能是穩(wěn)定的；時(shí)間序列變量X(t)和Y(t)非穩(wěn)定，但線性組合X(t)-bY(t)卻可能是穩(wěn)定的。

時(shí)間序列分析通常是把各種可能發(fā)生作用的因素進(jìn)行分類，傳統(tǒng)的分類方法是按各種因素的特點(diǎn)或影響效果分為四大類：(1)長(zhǎng)期趨勢(shì)；(2)季節(jié)變動(dòng)；(3)循環(huán)變動(dòng)；(4)不規(guī)則變動(dòng)。

時(shí)間序列預(yù)測(cè)法種類，

1. 簡(jiǎn)單序時(shí)平均數(shù)法算術(shù)平均法

2. 移動(dòng)平均法：移動(dòng)平均法是一種簡(jiǎn)單平滑預(yù)測(cè)技術(shù)，它的基本思想是：根據(jù)時(shí)間序列資料、逐項(xiàng)推移，依次計(jì)算包含一定項(xiàng)數(shù)的序時(shí)平均值，以反映長(zhǎng)期趨勢(shì)的方法。

分為簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法，加權(quán)移動(dòng)平均法。 一般而言，最近期的數(shù)據(jù)最能預(yù)示未來(lái)的情況，因而權(quán)重應(yīng)大些。

移動(dòng)平均法的優(yōu)缺點(diǎn)

　　使用移動(dòng)平均法進(jìn)行預(yù)測(cè)能平滑掉需求的突然波動(dòng)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響。但移動(dòng)平均法運(yùn)用時(shí)也存在著如下問(wèn)題：

　　1、 加大移動(dòng)平均法的期數(shù)（即加大n值）會(huì)使平滑波動(dòng)效果更好，但會(huì)使預(yù)測(cè)值對(duì)數(shù)據(jù)實(shí)際變動(dòng)更不敏感；

　　2、 移動(dòng)平均值并不能總是很好地反映出趨勢(shì)。由于是平均值，預(yù)測(cè)值總是停留在過(guò)去的水平上而無(wú)法預(yù)計(jì)會(huì)導(dǎo)致將來(lái)更高或更低的波動(dòng)；

　　3、 移動(dòng)平均法要由大量的過(guò)去數(shù)據(jù)的記錄。

使用移動(dòng)平均法時(shí)，主要是要定下來(lái)N（用幾個(gè)時(shí)期預(yù)測(cè)下個(gè)時(shí)期）是多少，實(shí)際中可以取多個(gè)N然后比相對(duì)誤差。

3. 指數(shù)平滑法：所有預(yù)測(cè)方法中，指數(shù)平滑是用得最多的一種。簡(jiǎn)單的全期平均法是對(duì)時(shí)間數(shù)列的過(guò)去數(shù)據(jù)一個(gè)不漏地全部加以同等利用；移動(dòng)平均法則不考慮較遠(yuǎn)期的數(shù)據(jù)，并在加權(quán)移動(dòng)平均法中給予近期資料更大的權(quán)重；而指數(shù)平滑法則兼容了全期平均和移動(dòng)平均所長(zhǎng)，不舍棄過(guò)去的數(shù)據(jù)，但是僅給予逐漸減弱的影響程度，即隨著數(shù)據(jù)的遠(yuǎn)離，賦予逐漸收斂為零的權(quán)數(shù)。也就是說(shuō)指數(shù)平滑法是在移動(dòng)平均法基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種時(shí)間序列分析預(yù)測(cè)法，它是通過(guò)計(jì)算指數(shù)平滑值，配合一定的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型對(duì)現(xiàn)象的未來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)。其原理是任一期的指數(shù)平滑值都是本期實(shí)際觀察值與前一期指數(shù)平滑值的加權(quán)平均。

指數(shù)平滑法的基本公式是： 式中，

• S_t--時(shí)間t的平滑值；
• y_t--時(shí)間t的實(shí)際值；
• S_{t − 1}--時(shí)間t-1的平滑值；
• a--平滑常數(shù)，其取值范圍為[0,1]；

指數(shù)平滑常數(shù)取值至關(guān)重要。平滑常數(shù)決定了平滑水平以及對(duì)預(yù)測(cè)值與實(shí)際結(jié)果之間差異的響應(yīng)速度。平滑常數(shù)a越接近于1，遠(yuǎn)期實(shí)際值對(duì)本期平滑值影響程度的下降越迅速；平滑常數(shù)a越接近于 0，遠(yuǎn)期實(shí)際值對(duì)本期平滑值影響程度的下降越緩慢。由此，當(dāng)時(shí)間數(shù)列相對(duì)平穩(wěn)時(shí)，可取較大的a；當(dāng)時(shí)間數(shù)列波動(dòng)較大時(shí)，應(yīng)取較小的a，以不忽略遠(yuǎn)期實(shí)際值的影響。

據(jù)平滑次數(shù)不同，指數(shù)平滑法分為：一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法等。當(dāng)時(shí)間數(shù)列無(wú)明顯的趨勢(shì)變化，可用一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)。

（一） 一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)

　　當(dāng)時(shí)間數(shù)列無(wú)明顯的趨勢(shì)變化，可用一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)。其預(yù)測(cè)公式為：

　　yt+1'=ayt+(1-a)yt' 式中，

• yt+1'--t+1期的預(yù)測(cè)值，即本期（t期）的平滑值St ；
• yt--t期的實(shí)際值；
• yt'--t期的預(yù)測(cè)值，即上期的平滑值St-1 。

　　該公式又可以寫(xiě)作：yt+1'=yt'+a(yt- yt')。可見(jiàn)，下期預(yù)測(cè)值又是本期預(yù)測(cè)值與以a為折扣的本期實(shí)際值與預(yù)測(cè)值誤差之和。

（二） 二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)

　　二次指數(shù)平滑是對(duì)一次指數(shù)平滑的再平滑。它適用于具線性趨勢(shì)的時(shí)間數(shù)列。其預(yù)測(cè)公式為：

　　yt+m=(2+am/(1-a))yt'-(1+am/(1-a))yt=(2yt'-yt)+m(yt'-yt) a/(1-a)

　　式中，yt= ayt-1'+(1-a)yt-1

　　顯然，二次指數(shù)平滑是一直線方程，其截距為：(2yt'-yt)，斜率為：(yt'-yt) a/(1-a),自變量為預(yù)測(cè)天數(shù)。

（三） 三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)

　　三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)是二次平滑基礎(chǔ)上的再平滑。其預(yù)測(cè)公式是：

　　yt+m=(3yt'-3yt+yt)+[(6-5a)yt'-(10-8a)yt+(4-3a)yt]*am/2(1-a)2+ (yt'-2yt+yt')*a2m2/2(1-a)2

　　式中，yt=ayt-1+(1-a)yt-1

　　它們的基本思想都是：預(yù)測(cè)值是以前觀測(cè)值的加權(quán)和，且對(duì)不同的數(shù)據(jù)給予不同的權(quán)，新數(shù)據(jù)給較大的權(quán)，舊數(shù)據(jù)給較小的權(quán)。

案例:指數(shù)平滑法在銷售預(yù)算中的應(yīng)用

　　某軟件公司A為例。給出2000-2005年的歷史銷售資料，將數(shù)據(jù)代入指數(shù)平滑模型。預(yù)測(cè)2006年的銷售額，作為銷售預(yù)算編制的基礎(chǔ)。

　　由散點(diǎn)圖示可知。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷法。A公司2000-2005年銷售額時(shí)間序列波動(dòng)很大。長(zhǎng)期趨勢(shì)變化幅度較大，呈現(xiàn)明顯且迅速的上升趨勢(shì)，宜選擇較大的α值，可在05-O.8間選值，以使預(yù)測(cè)模型靈敏度高些，結(jié)合試算法取0.5，0.6,0.8分別測(cè)試。經(jīng)過(guò)第一次指數(shù)平滑后，數(shù)列呈現(xiàn)直線趨勢(shì)，故選用二次指數(shù)平滑法即可。

試算結(jié)果見(jiàn)下表。根據(jù)偏差平方的均值(MSE)最小，即各期實(shí)際值與預(yù)測(cè)值差的平方和除以總期數(shù)．以最小值來(lái)確定理的取值的標(biāo)準(zhǔn)，經(jīng)測(cè)算當(dāng)α = 0.6時(shí)，MSE₁ = l445.4；當(dāng)α = 0.8時(shí)，MSE₂=10783.7；當(dāng)α = 0.5時(shí)，MSE₃ = 1906.1。因此選擇α = 0.6來(lái)預(yù)測(cè)2006年4個(gè)季度的銷售額。

　　2005年第四季度=736.8;=679.5;；可以求得；=(736.8-679.5)/0.4=85.9則預(yù)測(cè)方Y_{2005 + T} = 794.1 + 85.9T,因此，2006年第一、二、三、四季度的預(yù)測(cè)值分別為：

Y₁ = 794.1 + 85.9 = 800(萬(wàn)元)

(萬(wàn)元)

(萬(wàn)元)

(萬(wàn)元)

　　綜上所述，本案例首先根據(jù)銷售歷史資料，給出數(shù)列散點(diǎn)圖。再根據(jù)散點(diǎn)圖的特征選擇二次指數(shù)平滑法，通過(guò)對(duì)α的試算，確定符合預(yù)測(cè)需要的α值，最后根據(jù)指數(shù)平滑模型計(jì)算出2006年14季度的銷售預(yù)測(cè)值，作為銷售預(yù)算的基礎(chǔ)。

典型模型包括arch模型，arima模型等

arch模型：

ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下，某一時(shí)刻一個(gè)噪聲的發(fā)生是服從正態(tài)分布。該正態(tài)分布的均值為零，方差是一個(gè)隨時(shí)間變化的量(即為條件異方差)。并且這個(gè)隨時(shí)間變化的方差是過(guò)去有限項(xiàng)噪聲值平方的線性組合(即為自回歸)。這樣就構(gòu)成了自回歸條件異方差模型。

　　由于需要使用到條件方差，我們這里不采用恩格爾的比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膹?fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式，而是采取下面的表達(dá)方式，以便于我們把握模型的精髓。見(jiàn)如下數(shù)學(xué)表達(dá)：

　　Yt = βXt＋εt (1)其中，

• Yt為被解釋變量，
• Xt為解釋變量，
• εt為誤差項(xiàng)。

　　如果誤差項(xiàng)的平方服從AR(q)過(guò)程，即εt2 =a0＋a1εt－12 ＋a2εt－22 ＋ …… ＋ aqεt－q2 ＋ηt t =1,2,3…… (2)其中，

　　ηt獨(dú)立同分布，并滿足E（ηt）= 0, D(ηt)= λ2 ,則稱上述模型是自回歸條件異方差模型。簡(jiǎn)記為ARCH模型。稱序列εt 服從q階的ARCH的過(guò)程，記作εt －ARCH(q)。為了保證εt2 為正值，要求a0 >0 ,ai ≥0 i=2,3,4… 。

　　上面（1）和（2）式構(gòu)成的模型被稱為回歸－ARCH模型。ARCH模型通常對(duì)主體模型的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行建模分析。以便充分的提取殘差中的信息，使得最終的模型殘差ηt成為白噪聲序列。

　　從上面的模型中可以看出，由于現(xiàn)在時(shí)刻噪聲的方差是過(guò)去有限項(xiàng)噪聲值平方的回歸，也就是說(shuō)噪聲的波動(dòng)具有一定的記憶性，因此，如果在以前時(shí)刻噪聲的方差變大，那么在此刻噪聲的方差往往也跟著變大；如果在以前時(shí)刻噪聲的方差變小，那么在此刻噪聲的方差往往也跟著變小。體現(xiàn)到期貨市場(chǎng)，那就是如果前一階段期貨合約價(jià)格波動(dòng)變大，那么在此刻市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)也往往較大

GARCH模型是一個(gè)專門針對(duì)金融數(shù)據(jù)所量體訂做的回歸模型

arima模型：

Autoregressive Integrated Moving Average Model。 ARIMA（p，d，q）稱為差分自回歸移動(dòng)平均模型，AR是自回歸, p為自回歸項(xiàng); MA為移動(dòng)平均，q為移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)，d為時(shí)間序列成為平穩(wěn)時(shí)所做的差分次數(shù)。

ARIMA模型預(yù)測(cè)的基本程序

    （一）根據(jù)時(shí)間序列的散點(diǎn)圖、自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)圖以ADF單位根檢驗(yàn)其方差、趨勢(shì)及其季節(jié)性變化規(guī)律，對(duì)序列的平穩(wěn)性進(jìn)行識(shí)別。一般來(lái)講，經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的時(shí)間序列都不是平穩(wěn)序列。

　　（二）對(duì)非平穩(wěn)序列進(jìn)行平穩(wěn)化處理。如果數(shù)據(jù)序列是非平穩(wěn)的，并存在一定的增長(zhǎng)或下降趨勢(shì)，則需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行差分處理，如果數(shù)據(jù)存在異方差，則需對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行技術(shù)處理，直到處理后的數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)值和偏相關(guān)函數(shù)值無(wú)顯著地異于零。

　　（三）根據(jù)時(shí)間序列模型的識(shí)別規(guī)則，建立相應(yīng)的模型。若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)函數(shù)是截尾的，而自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，可斷定序列適合AR模型；若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)函數(shù)是拖尾的，而自相關(guān)函數(shù)是截尾的，則可斷定序列適合MA模型；若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)均是拖尾的，則序列適合ARMA模型。

　　（四）進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，檢驗(yàn)是否具有統(tǒng)計(jì)意義。

　　（五）進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，診斷殘差序列是否為白噪聲。

　　（六）利用已通過(guò)檢驗(yàn)的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。

取對(duì)數(shù)可以消除數(shù)據(jù)波動(dòng)變大趨勢(shì)，對(duì)數(shù)列進(jìn)行一階差分，可以消除數(shù)據(jù)增長(zhǎng)趨勢(shì)性和季節(jié)性。

一個(gè)例子：

備件消耗預(yù)測(cè)ARIMA(p,d,q)模型實(shí)質(zhì)是先對(duì)非平穩(wěn)的備件消耗歷史數(shù)據(jù)Yt進(jìn)行d（d＝0,1,dots,n）次差分處理得到新的平穩(wěn)的數(shù)據(jù)序列Xt，將Xt擬合ARMA(p,q)模型，然后再將原d次差分還原，便可以得到Y(jié)_t的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。其中，ARMA(p,q)的一般表達(dá)式為：

　　(1)

　　式中，前半部分為自回歸部分，非負(fù)整數(shù)p為自回歸階數(shù)，為自回歸系數(shù)，后半部分為滑動(dòng)平均部分，非負(fù)整數(shù)q為滑動(dòng)平均階數(shù)，為滑動(dòng)平均系數(shù)；X_t為備件消耗數(shù)據(jù)相關(guān)序列，ε_t為WN(0,σ²)。

　　當(dāng)q=0時(shí)，該模型成為AR(p)模型：　　(2)

　　當(dāng)p＝0時(shí)，該模型成為MA(q)模型：　　(3)

所謂零均值化處理就是取前N組（或全部）數(shù)據(jù)作為觀測(cè)數(shù)據(jù)，進(jìn)行零均值化處理，即：，得到一組預(yù)處理后的新序列。

SAS與arima：

sas 有proc arima. 分為三個(gè)階段：

identification: 識(shí)別候選arima模型。

estimation and diagnositic checking: 為模型估計(jì)參數(shù)，并提供診斷統(tǒng)計(jì)信息幫助判斷模型是否好。

forcasting: 預(yù)測(cè)未來(lái)值。

這里有一個(gè)proc arima的例子： http://www.docin.com/p-46241714.html

貼一下代碼，生成data set的部分略有改動(dòng)，copy&paste pdf的數(shù)據(jù)到txt中，然后批量輸入data set. 方便生成data set

filename input "c:\temp\sun.txt";
data exp1;
   infile input;
   input a1 @@;
   year=intnx('year','1jan1742'd,_n_-1);
   format year year4.;
run;

proc gplot data=exp1;
  symbol i=spline v=star h=2 c=green;
  plot a1*year;
run;

proc arima data=exp1;
  identify var=a1 nlag=24;
run;

estimate p=3;
run;

forecast lead=6 interval=year id=year out=out;
run;
proc print data=out;
run;

vcycyv:

1. nlag取24，在圖上看是一個(gè)w型。

2. 書(shū)上做identification步驟之后，得出結(jié)論：“觀察輸出結(jié)果。初步識(shí)別序列為 AR(3)模型。” 不確定這個(gè)結(jié)論是怎么得出來(lái)的，1. 怎么算截尾，怎么算拖尾？2. AR（3）里那個(gè)3是怎么出來(lái)的？對(duì)第二個(gè)問(wèn)題瞎猜一下，是看ACF圖觀察出來(lái)三個(gè)值能推出來(lái)第四個(gè)值么？

問(wèn)了學(xué)統(tǒng)計(jì)的同事，解答了上面兩個(gè)問(wèn)題，還是需要繼續(xù)理解：

參考：

http://wiki.mbalib.com/wiki/%E6%97%B6%E9%97%B4%E5%BA%8F%E5%88%97%E9%A2%84%E6%B5%8B%E6%B3%95

http://wiki.mbalib.com/wiki/%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%B3%95

http://wiki.mbalib.com/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%B9%B3%E6%BB%91%E6%B3%95

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%97%B6%E9%97%B4%E5%BA%8F%E5%88%97

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%9B%B8%E5%85%B3%E5%87%BD%E6%95%B0

http://wiki.mbalib.com/wiki/ARIMA%E6%A8%A1%E5%9E%8B

http://www.docin.com/p-46241714.html

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