隨著中信出版社引進(jìn)出版 的《長尾理論》，關(guān)于這一Web 2.0以來最重要的概念又被大家如火如荼地炒作起來。概念是模糊的，科學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹ｋm然我之前就某些問題質(zhì)疑過長尾理論，本文試圖通過數(shù)學(xué)方法來看看長尾理論是否真的徹底顛覆了二八法則？
長尾理論通常使用左邊這張長尾曲線圖來解釋，頭部是大熱門，流行度曲線陡然下墜，但一直沒有到零點(diǎn)。這個(gè)長長尾巴的價(jià)值就是長尾理論通篇講述的核心。
《長尾理論》書中第110頁中講到“長尾就是一種冪率(power-law)曲線”，學(xué)過中學(xué)數(shù)學(xué)的都知道，冪率曲線就是類似f(x)=c/x的曲線，其中c為常量。大家看看確實(shí)和Chris Anderson描述的長尾曲線一模一樣。
有了這個(gè)前提，我們來看看長尾理論是否真的徹底顛覆了二八法則？首先，了解一下“二八法則”，“二八法則”又稱“帕累托法則”，是意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家帕累托在19世紀(jì)末發(fā)現(xiàn)的經(jīng)濟(jì)規(guī)律，他發(fā)現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)活動中，少數(shù)群體顯得更為重要，比如：20%的人口掌握80%的財(cái)富、20%的產(chǎn)品產(chǎn)生80%的銷售額等等。因此這個(gè)法則也稱為“重要少數(shù)法則”。
我們在任何一個(gè)地方截?cái)嚅L尾，比如x=5n的地方，這時(shí)候20%多數(shù)是x=n之前的部分。2個(gè)部分的總量分別是：
總量 = c+c/2+c/3+c/4+...+c/5n
頭部 = c+c/2+c/3+c/4+...+c/n
很顯然，這2個(gè)部分構(gòu)成都是數(shù)學(xué)中最常見的調(diào)合級數(shù)，我們知道調(diào)合級數(shù)是發(fā)散的。如何估算(1)和(2)的值并進(jìn)而計(jì)算它們的比例呢？幸好著名的數(shù)學(xué)家Euler證明了
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n = ln(n+1)+r
其中r是一個(gè)常量，現(xiàn)在稱為Euler常數(shù)，約為0.577218。這樣，我們就得到長尾理論環(huán)境(豐饒經(jīng)濟(jì))下，20%的頭部所占的比例基本為：
頭部/總量 = (ln(n)+r) / (ln(5n)+r) = (ln(n)+r) / (ln(n)+ln5+r)
因?yàn)閘n(n)是發(fā)散的，所以當(dāng)n越來越大的時(shí)候，這個(gè)比率越來越接近于100%。形象一點(diǎn)，我們來計(jì)算幾個(gè)值：
| n | 20%的頭部比例 |
| 100 | 75.3% |
| 1000 | 82.3% |
| 10000 | 85.9% |
所以從數(shù)學(xué)計(jì)算上來說，長尾理論依然沒有擺脫“重要少數(shù)法則”。
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其實(shí)Chris Anderson也承認(rèn)：“真正的80/20法則只是承認(rèn)帕累托分布的有效性，承認(rèn)某些東西賣得遠(yuǎn)比其他東西要好，這在長尾市場和傳統(tǒng)市場中都是成立的。”所以，長尾理論徹底顛覆了二八法則是沒有根據(jù)的。
長尾理論不是顛覆性的概念，更多地是指導(dǎo)我們在豐饒經(jīng)濟(jì)的條件下，尋找合適的長尾市場，開拓新的銷售渠道。所以Chris Anderson也重點(diǎn)談到“即使有二八法則的統(tǒng)治，在豐饒經(jīng)濟(jì)環(huán)境下，我們也沒有理由不去經(jīng)營其它的80%產(chǎn)品”。或許，這就是對長尾理論最深刻的注解。
數(shù)學(xué)小知識：歐拉常數(shù)的由來
對于今天我們稱為調(diào)和級數(shù)的
1+1/2+1/3+1/4+...
很早就有數(shù)學(xué)家研究，比如中世紀(jì)后期的數(shù)學(xué)家Oresme在1360年就證明了這個(gè)級數(shù)是發(fā)散的。他的方法很簡單：
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...
1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...
注意后一個(gè)級數(shù)每一項(xiàng)對應(yīng)的分?jǐn)?shù)都小數(shù)調(diào)合級數(shù)中每一項(xiàng)，而且后面級數(shù)的括號中的數(shù)值和都為1/2，這樣的1/2有無窮多個(gè)，所以后一個(gè)級數(shù)是趨向無窮大的，進(jìn)而調(diào)合級數(shù)也是發(fā)散的。
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隨后很長一段時(shí)間，人們無法使用公式去逼近調(diào)合級數(shù)，直到無窮級數(shù)理論逐步成熟。1665年Newton(牛頓)在他的著名著作《流數(shù)法》中推導(dǎo)出第一個(gè)冪級數(shù)：
ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ...
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Euler(歐拉)在1734年，利用Newton的成果，首先獲得了調(diào)和級數(shù)有限多項(xiàng)和的值。結(jié)果是：
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n = ln(n)+r (r為常量)
他的證明是這樣的：
根據(jù)Newton的冪級數(shù)有：
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x2 + 1/3x3 - ...
于是：
1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x2 - 1/3x3 + ...
代入x=1,2,...,n，就給出：
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
......
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n2 - 1/3n3 + ...
相加，就得到：
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n3) + ......
后面那一串和都是收斂的，我們可以定義
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r
Euler近似地計(jì)算了r的值，約為0.577218。這個(gè)數(shù)字就是后來稱作的歐拉常數(shù)。不過遺憾的是，我們對這個(gè)常量還知之甚少，連這個(gè)數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)都還是個(gè)謎。
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