原碼、反碼、補(bǔ)碼
數(shù)值在計(jì)算機(jī)中表示形式為機(jī)器數(shù),計(jì)算機(jī)只能識(shí)別0和1,使用的是二進(jìn)制,而在日常生活中人們使用的是十進(jìn)制,"正如亞里士多德早就指出的那樣,今天十進(jìn)制的廣泛采用,只不過(guò)我們絕大多數(shù)人生來(lái)具有10個(gè)手指頭這個(gè)解剖學(xué)事實(shí)的結(jié)果.盡管在歷史上手指計(jì)數(shù)(5,10進(jìn)制)的實(shí)踐要比二或三進(jìn)制計(jì)數(shù)出現(xiàn)的晚."(摘自<<數(shù)學(xué)發(fā)展史>>有空大家可以看看哦~,很有意思的).為了能方便的與二進(jìn)制轉(zhuǎn)換,就使用了十六進(jìn)制(2 4)和八進(jìn)制(23).下面進(jìn)入正題.
數(shù)值有正負(fù)之分,計(jì)算機(jī)就用一個(gè)數(shù)的最高位存放符號(hào)(0為正,1為負(fù)).這就是機(jī)器數(shù)的原碼了.假設(shè)機(jī)器能處理的位數(shù)為8.即字長(zhǎng)為1byte,原碼能表示數(shù)值的范圍為
(-127~-0 +0~127)共256個(gè).
有了數(shù)值的表示方法就可以對(duì)數(shù)進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算.但是很快就發(fā)現(xiàn)用帶符號(hào)位的原碼進(jìn)行乘除運(yùn)算時(shí)結(jié)果正確,而在加減運(yùn)算的時(shí)候就出現(xiàn)了問(wèn)題,如下: 假設(shè)字長(zhǎng)為8bits
( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10
(00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 顯然不正確.
因?yàn)樵趦蓚€(gè)整數(shù)的加法運(yùn)算中是沒(méi)有問(wèn)題的,于是就發(fā)現(xiàn)問(wèn)題出現(xiàn)在帶符號(hào)位的負(fù)數(shù)身上,對(duì)除符號(hào)位外的其余各位逐位取反就產(chǎn)生了反碼.反碼的取值空間和原碼相同且一一對(duì)應(yīng). 下面是反碼的減法運(yùn)算:
( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10
(00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有問(wèn)題.
( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10
(00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正確
問(wèn)題出現(xiàn)在(+0)和(-0)上,在人們的計(jì)算概念中零是沒(méi)有正負(fù)之分的.(印度人首先將零作為標(biāo)記并放入運(yùn)算之中,包含有零號(hào)的印度數(shù)學(xué)和十進(jìn)制計(jì)數(shù)對(duì)人類(lèi)文明的貢獻(xiàn)極大).
于是就引入了補(bǔ)碼概念. 負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼就是對(duì)反碼加一,而正數(shù)不變,正數(shù)的原碼反碼補(bǔ)碼是一樣的.在補(bǔ)碼中用(-128)代替了(-0),所以補(bǔ)碼的表示范圍為:
(-128~0~127)共256個(gè).
注意:(-128)沒(méi)有相對(duì)應(yīng)的原碼和反碼, (-128) = (10000000) 補(bǔ)碼的加減運(yùn)算如下:
( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10
(00000001)補(bǔ) + (11111111)補(bǔ) = (00000000)補(bǔ) = ( 0 ) 正確
( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10
(00000001) 補(bǔ)+ (11111110) 補(bǔ)= (11111111)補(bǔ) = ( -1 ) 正確
所以補(bǔ)碼的設(shè)計(jì)目的是:
⑴使符號(hào)位能與有效值部分一起參加運(yùn)算,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算規(guī)則.
⑵使減法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為加法運(yùn)算,進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算機(jī)中運(yùn)算器的線(xiàn)路設(shè)計(jì)
所有這些轉(zhuǎn)換都是在計(jì)算機(jī)的最底層進(jìn)行的，而在我們使用的匯編、C等其他高級(jí)語(yǔ)言中使用的都是原碼。看了上面這些大家應(yīng)該對(duì)原碼、反碼、補(bǔ)碼有了新的認(rèn)識(shí)了吧！
有網(wǎng)友對(duì)此做了進(jìn)一步的總結(jié)：
本人大致總結(jié)一下：
1、在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，數(shù)值一律用補(bǔ)碼來(lái)表示（存儲(chǔ)）。
主要原因：使用補(bǔ)碼，可以將符號(hào)位和其它位統(tǒng)一處理；同時(shí)，減法也可按加法來(lái)處理。另外，兩個(gè)用補(bǔ)碼表示的數(shù)相加時(shí)，如果最高位（符號(hào)位）有進(jìn)位，則進(jìn)位被舍棄。
2、補(bǔ)碼與原碼的轉(zhuǎn)換過(guò)程幾乎是相同的。
數(shù)值的補(bǔ)碼表示也分兩種情況：
（1）正數(shù)的補(bǔ)碼：與原碼相同。
例如，+9的補(bǔ)碼是00001001。
（2）負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼：符號(hào)位為1，其余位為該數(shù)絕對(duì)值的原碼按位取反；然后整個(gè)數(shù)加1。
例如，-7的補(bǔ)碼：因?yàn)槭秦?fù)數(shù)，則符號(hào)位為“1”,整個(gè)為10000111；其余7位為-7的絕對(duì)值+7的原碼0000111按位取反為1111000；再加1，所以-7的補(bǔ)碼是11111001。
已知一個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼，求原碼的操作分兩種情況：
（1）如果補(bǔ)碼的符號(hào)位為“0”，表示是一個(gè)正數(shù)，所以補(bǔ)碼就是該數(shù)的原碼。
（2）如果補(bǔ)碼的符號(hào)位為“1”，表示是一個(gè)負(fù)數(shù)，求原碼的操作可以是：符號(hào)位為1，其余各位取反，然后再整個(gè)數(shù)加1。
例如，已知一個(gè)補(bǔ)碼為11111001，則原碼是10000111（-7）：因?yàn)榉?hào)位為“1”，表示是一個(gè)負(fù)數(shù)，所以該位不變，仍為“1”；其余7位1111001取反后為0000110；再加1，所以是10000111。
在“閑扯原碼、反碼、補(bǔ)碼”文件中，沒(méi)有提到一個(gè)很重要的概念“模”。我在這里稍微介紹一下“模”的概念：
“模”是指一個(gè)計(jì)量系統(tǒng)的計(jì)數(shù)范圍。如時(shí)鐘等。計(jì)算機(jī)也可以看成一個(gè)計(jì)量機(jī)器，它也有一個(gè)計(jì)量范圍，即都存在一個(gè)“模”。例如：
時(shí)鐘的計(jì)量范圍是0～11，模=12。
表示n位的計(jì)算機(jī)計(jì)量范圍是0～2(n)-1，模=2（n）。【注：n表示指數(shù)】
“模”實(shí)質(zhì)上是計(jì)量器產(chǎn)生“溢出”的量，它的值在計(jì)量器上表示不出來(lái)，計(jì)量器上只能表示出模的余數(shù)。任何有模的計(jì)量器，均可化減法為加法運(yùn)算。
例如： 假設(shè)當(dāng)前時(shí)針指向10點(diǎn)，而準(zhǔn)確時(shí)間是6點(diǎn)，調(diào)整時(shí)間可有以下兩種撥法：
一種是倒撥4小時(shí)，即：10-4=6
另一種是順撥8小時(shí)：10+8=12+6=6
在以12模的系統(tǒng)中，加8和減4效果是一樣的，因此凡是減4運(yùn)算，都可以用加8來(lái)代替。
對(duì)“模”而言，8和4互為補(bǔ)數(shù)。實(shí)際上以12模的系統(tǒng)中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有這個(gè)特性。共同的特點(diǎn)是兩者相加等于模。
對(duì)于計(jì)算機(jī)，其概念和方法完全一樣。n位計(jì)算機(jī)，設(shè)n=8， 所能表示的最大數(shù)是11111111，若再加1稱(chēng)為100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丟失。又回了00000000，所以8位二進(jìn)制系統(tǒng)的模為2(8)。 在這樣的系統(tǒng)中減法問(wèn)題也可以化成加法問(wèn)題，只需把減數(shù)用相應(yīng)的補(bǔ)數(shù)表示就可以了。
把補(bǔ)數(shù)用到計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)的處理上，就是補(bǔ)碼。