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回頭看上一節，我們所講的數都是正數。同樣是年紀和工資，前者不需要有負值，但后者可能需要——至少所有的老板都這樣認為。

那么，負數在計算機中如何表示呢？

這一點，你可能聽過兩種不同的回答。

一種是教科書，它會告訴你：計算機用“補碼”表示負數。可是有關“補碼”的概念一說就得一節課，這一些我們需要在第6章中用一章的篇幅講2進制的一切。再者，用“補碼”表示負數，其實一種公式，公式的作用在于告訴你，想得問題的答案，應該如何計算。卻并沒有告訴你為什么用這個公式就可以和答案？ 

另一種是一些程序員告訴你的：用二進制數的最高位表示符號，最高位是0，表示正數，最高位是1，表示負數。這種說法本身沒錯，可是如果沒有下文，那么它就是錯的。至少它不能解釋，為什么字符類型的-1用二進制表示是“1111 1111”(16進制為FF)；而不是我們更能理解的“1000 0001”。（為什么說后者更好理解呢？因為既然說最高位是1時表示負數，那1000 0001不是正好是-1嗎？）。

讓我們從頭說起。

1、你自已決定是否需要有正負。

就像我們必須決定某個量使用整數還是實數，使用多大的范圍數一樣，我們必須自已決定某個量是否需要正負。如果這個量不會有負值，那么我們可以定它為帶正負的類型。

在計算機中，可以區分正負的類型，稱為有符類型，無正負的類型（只有正值），稱為無符類型。

數值類型分為整型或實型，其中整型又分為無符類型或有符類型，而實型則只有符類型。

字符類型也分為有符和無符類型。

比如有兩個量，年齡和庫存，我們可以定前者為無符的字符類型，后者定為有符的整數類型。

2、使用二制數中的最高位表示正負。

首先得知道最高位是哪一位？1個字節的類型，如字符類型，最高位是第7位，2個字節的數，最高位是第15位，4個字節的數，最高位是第31位。不同長度的數值類型，其最高位也就不同，但總是最左邊的那位（如下示意）。字符類型固定是1個字節，所以最高位總是第7位。

(紅色為最高位)

單字節數： 1111 1111

雙字節數： 1111 1111 1111 1111

四字節數： 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

當我們指定一個數量是無符號類型時，那么其最高位的1或0，和其它位一樣，用來表示該數的大小。

當我們指定一個數量是無符號類型時，此時，最高數稱為“符號位”。為1時，表示該數為負值，為0時表示為正值。

3、無符號數和有符號數的范圍區別。

無符號數中，所有的位都用于直接表示該值的大小。有符號數中最高位用于表示正負，所以，當為正值時，該數的最大值就會變小。我們舉一個字節的數值對比：

無符號數： 1111 1111   值：255 1* 2⁷ + 1* 2⁶ + 1* 2⁵ + 1* 2⁴ + 1* 2³ + 1* 2² + 1* 2¹ + 1* 2⁰

有符號數： 0111 1111   值：127         1* 2⁶ + 1* 2⁵ + 1* 2⁴ + 1* 2³ + 1* 2² + 1* 2¹ + 1* 2⁰

同樣是一個字節，無符號數的最大值是255，而有符號數的最大值是127。原因是有符號數中的最高位被挪去表示符號了。并且，我們知道，最高位的權值也是最高的（對于1字節數來說是2的7次方=128），所以僅僅少于一位，最大值一下子減半。

不過，有符號數的長處是它可以表示負數。因此，雖然它的在最大值縮水了，卻在負值的方向出現了伸展。我們仍一個字節的數值對比：

無符號數：                       0 ----------------- 255

有符號數：        -128 --------- 0 ---------- 127

同樣是一個字節，無符號的最小值是 0 ，而有符號數的最小值是-128。所以二者能表達的不同的數值的個數都一樣是256個。只不過前者表達的是0到255這256個數，后者表達的是-128到+127這256個數。

一個有符號的數據類型的最小值是如何計算出來的呢？

有符號的數據類型的最大值的計算方法完全和無符號一樣，只不過它少了一個最高位（見第3點）。但在負值范圍內，數值的計算方法不能直接使用1* 2⁶ + 1* 2⁵ 的公式進行轉換。在計算機中，負數除為最高位為1以外，還采用補碼形式進行表達。所以在計算其值前，需要對補碼進行還原。這些內容我們將在第六章中的二進制知識中統一學習。

這里，先直觀地看一眼補碼的形式：

以我們原有的數學經驗，在10進制中：1 表示正1，而加上負號：-1 表示和1相對的負值。

那么，我們會很容易認為在2進制中（1個字節）： 0000 0001 表示正1，則高位為1后：1000 0001應該表示-1。

然而，事實上計算機中的規定有些相反，請看下表：

首先我們看到，從-1到-128，其二進制的最高位都是1（表中標為紅色），正如我們前面的學。

然后我們有些奇怪地發現，1000 0000 并沒有拿來表示 -0；而1000 0001也不是拿來直觀地表示-1。事實上，-1 用1111 1111來表示。

怎么理解這個問題呢？先得問一句是-1大還是-128大？

當然是 -1 大。-1是最大的負整數。以此對應，計算機中無論是字符類型，或者是整數類型，也無論這個整數是幾個字節。它都用全1來表示 -1。比如一個字節的數值中：1111 1111表示-1，那么，1111 1111 - 1 是什么呢？和現實中的計算結果完全一致。1111 1111 - 1 = 1111 1110，而1111 1110就是-2。這樣一直減下去，當減到只剩最高位用于表示符號的1以外，其它低位全為0時，就是最小的負值了，在一字節中，最小的負值是1000 0000，也就是-128。

我們以-1為例，來看看不同字節數的整數中，如何表達-1這個數：

可能有同學這時會混了：為什么 1111 1111 有時表示255，有時又表示-1？所以我再強調一下本節前面所說的第2點：你自已決定一個數是有符號還是無符號的。寫程序時，指定一個量是有符號的，那么當這個量的二進制各位上都是1時，它表示的數就是-1；相反，如果事選聲明這個量是無符號的，此時它表示的就是該量允許的最大值，對于一個字節的數來說，最大值就是255。

 原碼、反碼、補碼

我們已經知道計算機中，所有數據最終都是使用二進制數表達。

我們也已經學會如何將一個10進制數如何轉換為二進制數。

不過，我們仍然沒有學習一個負數如何用二進制表達。

比如，假設有一 int 類型的數，值為5，那么，我們知道它在計算機中表示為：

00000000 00000000 00000000 00000101

5轉換成二制是101，不過int類型的數占用4字節（32位），所以前面填了一堆0。

現在想知道，-5在計算機中如何表示？

在計算機中，負數以其正值的補碼形式表達。

什么叫補碼呢？這得從原碼，反碼說起。

原碼：一個整數，按照絕對值大小轉換成的二進制數，稱為原碼。

比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的 原碼。

反碼：將二進制數按位取反，所得的新二進制數稱為原二進制數的反碼。

取反操作指：原為1，得0；原為0，得1。（1變0; 0變1）

比如：將00000000 00000000 00000000 00000101每一位取反，得11111111 11111111 11111111 11111010。

稱：11111111 11111111 11111111 11111010 是 00000000 00000000 00000000 00000101 的反碼。

反碼是相互的，所以也可稱：

11111111 11111111 11111111 11111010 和 00000000 00000000 00000000 00000101 互為反碼。

補碼：反碼加1稱為補碼。

也就是說，要得到一個數的補碼，先得到反碼，然后將反碼加上1，所得數稱為補碼。

比如：00000000 00000000 00000000 00000101 的反碼是：11111111 11111111 11111111 11111010。

那么，補碼為：

11111111 11111111 11111111 11111010 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11111011

所以，-5 在計算機中表達為：11111111 11111111 11111111 11111011。轉換為十六進制：0xFFFFFFFB。

再舉一例，我們來看整數-1在計算機中如何表示。

假設這也是一個int類型，那么：

1、先取1的原碼：00000000 00000000 00000000 00000001

2、得反碼：     11111111 11111111 11111111 11111110

3、得補碼：     11111111 11111111 11111111 11111111

可見，－1在計算機里用二進制表達就是全1。16進制為：0xFFFFFF。

計算機原理-原碼、反碼、補碼

首先要說的是：計算機中的帶符號數一般用補碼表示

計算機中的帶符號數用補碼表示的優點：
1、負數的補碼與對應正數的補碼之間的轉換可以用同一種方法——求補運算完成，可以簡化硬件；
2、可將減法變為加法，省去減法器；
3、無符號數及帶符號數的加法運算可以用同一電路完成。

帶符號數的表示

先引進兩個名詞：機器數和真值。

將一個數在機器中的表示形式，即編碼稱為機器數，數的本身稱為真值。平常我們經常用的帶符號的數就是真數，如：+50，－10.5等等。

常用的機器數有三種：原碼、補碼和反碼。

    多做幾例，可得出一種心算求補的方法——從最低位開始至找到的第一個1均不變，符號位不變，這之間的各位“求反”(該方法僅用于做題)。

真值與三種機器數間的對照表