函數依賴
1.函數依賴定義
A－> B，即?
“
A函數決定B
”
? ，A稱為決定因素。
2．關系的鍵碼、超鍵碼
屬性函數決定關系R的所有其它屬性，并且該屬性的任何真子集都不能函數決定R的所有其它屬性，則屬性是鍵碼。 鍵碼必須是最小的。
包含鍵碼的屬性集稱為
“
超鍵碼
”
。每個鍵碼都是超鍵碼。
例題：
已知關系R包含屬性{A，B，C，D}，R的鍵碼為{A，B}，則下面的選項哪1個是R
的超鍵碼(? )。
? A．{A}??? B．{C，D}?? C.{A,B,C,D}? D.{B,C,D}
答案：C
?
3.幾個概念
平凡依賴：如果B是A的子集，則稱該依賴為平凡的。
非平凡依賴：如果B中至少有一個屬性不在A中，則稱該依賴為非平凡的。
完全非平凡依賴：如果B中沒有一個屬性在A中，則稱該依賴為完全非平凡的。
平凡依賴規則：函數依賴A1A2
…
An
→
B1B2
…
Bm等價于A1A2
…
An
→
C1C2
…
Ck，其中?? C是B的子集，但不在A中出現。稱這個規則為
“
平凡依賴規則
”
。
?
4．傳遞規則
??? 如果A1A2
…
An
→
B1B2
…
Bm和B1B2
…
Bm
→
C1C2
…
Ck，在關系R中成立，則A1A2
…
An
→
C1C2
…
Ck在R中也成立。這個規則就稱為傳遞規則。
?
例題：
現給定一個關系R的實例如下表，則可能是函數依賴的是( B )．
|
??? Fl
|
??? F2
|
??? R
|
??? F。
|
??? F5
|
|
??? 李華
|
??? 20020330
|
??? H
|
??? 1
|
??? lO
|
|
??? 金謙
|
??? 20020330
|
??? 0
|
??? 1
|
??? 5
|
|
??? 李華
|
??? 20020218
|
??? O? ·
|
??? 3
|
??? 15
|
|
??? 呂宋
|
??? 200201]5
|
??? H
|
?
?? 2
|
??? 5
|
|
??? 顧小華
|
??? 20020218
|
??? O
|
??? 1
|
??? 20
|
A.F1
→F2??????????? B.F1F2→F5
C．F3 F4→F5??????? D.F2F3→F4
?
學習要點二
1. 函數依賴集：假設{A1，A2，
…
，An}是屬性集，記為A，S是函數依賴集。
屬性集A在依賴集S下的封閉集是這樣的屬性集X，它使得滿足依賴集S中的所有依賴的每個關系也都滿足A
→
X。
A1A2
…
An
→
X是蘊含于S中的函數依賴。
２．封閉集：
對于給定的函數依賴集S，屬性集A函數決定的屬性的集合就是屬性集A在依賴集S下的封閉集。
學會計算某屬性集的封閉集，可以根據給定的函數依賴集推導蘊含于該依賴集的其他函數依賴。
?
例題：
假設關系模式為R(A，B,C，D)，函數依賴為A→B，B→C和B→D。
??? (1)求蘊含于給定函數依賴的所有非平凡函數依賴；
??? (2)求R的所有鍵碼；
??? (3)求R的所有超碼(不包括鍵碼)。
??? 參考答案：
??? (1)先求各種屬性組合的封閉集，再從中找出新的函數依賴。
??? A+=ABCD??????? ?B+=BCD? ?C+=C ??D+=D
??? A→C，A→D??? (2)
??? AB+==ABCD? AC+==ABCD ???AD+=ABCD ?BC+=BCD? ?BD+=BCD
CD+=CD
??? AB→C，AB→D AC→B，AC→D? AD→B，AD→C? BC→D? BD→C
??? ABC+=ABCD ?ABD+=ABCD ??BCD+=BCD
??? ABC→D? ABD→C???
??? ABCD+=ABCD
??? 蘊含于給定函數依賴的非平凡函數依賴共12個。
??? (2)A為鍵碼。
??? (3)AB，AC，AD，ABC，ABD，ABCD為超鍵碼。
???
學習要點三
?
1. 幾個概念
l????????
主屬性：鍵碼所在的屬性稱為主屬性。
l????????
主屬性：鍵碼所在的屬性稱為主屬性。
l????????
非主屬性：鍵碼屬性以外的屬性稱為非主屬性。
l????????
非主屬性：鍵碼屬性以外的屬性稱為非主屬性。
l????????
完全依賴：對于函數依賴W
→
A，如果存在V是W的真子集而函數依賴
?
??V
→
A成立，則稱A部分依賴于W；若不存在這種V，則稱A完全依賴于W。
l????????
傳遞依賴
??? 對于函數依賴X
→
Y，如果X不函數依賴于Y，而函數依賴Y
→
Z成立，則稱Z對X傳遞依賴。
?
學習要點四
1.第一范式（1NF）
如果一個關系模式R的所有屬性都是不可分的基本數據項，則這個關系屬于第一范式。
2．第二范式（2NF）
若關系模式R屬于第一范式，且每個非主屬性都完全函數依賴于鍵碼，則R屬于第二范式。
例題：學生關系模式Student（Sno，Sname，Sdept，Mname，Cname，Grade）。
?該關系模式存在如下部分依賴：
?? Sno，Cname
→
Sname，Sdept，Mname
??? 不滿足
“
每個非主屬性都完全函數依賴于鍵碼
”
的條件。學生關系模式不屬于第二范式。
3.第三范式（3NF）
若關系模式R屬于第一范式，且每個非主屬性都不傳遞依賴于鍵碼，則R屬于第三范式。
4.BC范式（BCNF）
若關系模式R屬于第一范式，且每個屬性都不傳遞依賴于鍵碼，則R屬于BC范式。
BC范式的條件表述：
l????????
每個非平凡依賴的左邊必須包含鍵碼；每個決定因素必須包含鍵碼。
l????????
BC范式既檢查非主屬性，又檢查主屬性。
例題：
寫出3個關系模式分別滿足：
? (1)是1NF，不是2NF；
? (2)是2NF，不是3NF；
? (3)是3NF，也是BCNF。
? 各用兩句話分別說明所寫的關系模式是前者，不是(或也是)后者。
? 答：(1)學生選課(學號，姓名，課程號，成績)
? 屬性不可分，是1NF；存在非主屬性對鍵碼的部分依賴(學號，課程號→姓名)，不
? 是2NF。
??? (2)學生(學號，姓名，系別，系主任)
??? 鍵碼為單屬性，不存在部分依賴，是2NF；存在非主屬性對鍵碼的傳遞依賴(學號→
姓名，系別；系別≯學號；系別→系主任；學號傳遞→系主任)，不是3NF。
??? (3)學生(學號，姓名，年齡)
??? 非主屬性(姓名，年齡)對鍵碼不存在部分依賴和傳遞依賴，是3NF；
??? 主屬性(學號)對鍵碼也不存在部分依賴和傳遞依賴，是BCNF。
?
學習要點五
1.模式分解的三種方法
1）部分依賴歸子集；完全依賴隨鍵碼。
??? 關系模式
“
升級
”
第二范式：消除非主屬性對鍵碼的部分依賴。
解決的辦法：對原有模式進行分解。
分解的關鍵：找出對鍵碼部分依賴的非主屬性所依賴的鍵碼的真子集，把這個真子集與所有相應的非主屬性組合成一個新的模式；對鍵碼完全依賴的所有非主屬性則與鍵碼組合成另一個新模式。
?2）基本依賴為基礎，中間屬性作橋梁
關系模式
“
升級
”
第三范式：消除非主屬性對鍵碼的傳遞依賴。
解決的辦法：以構成傳遞鏈的兩個基本依賴為基礎形成兩個新的模式，切斷傳遞鏈，保持兩個基本依賴，有中間屬性作為橋梁，跨接兩個新的模式，實現無損的自然連接。
3）找違例自成一體，舍其右全集歸一
??? 關系模式
“
升級
”
BC范式：消除非主屬性對鍵碼的部分依賴和傳遞依賴，消除? 主屬性對鍵碼的部分依賴和傳遞依賴。
解決的辦法：對關系R(A,B,C)，若存在BCNF的違例A
→
B ，則R分解為
R1(A,B)? R2(A,C)， R1,R2則為BCNF.
?
例題：
關系模式為R(A，B，C，D)，函數依賴為AB→C，C→D和D→A。
??? (1)找出所有違背BCNF的函數依賴。提示：應該考慮不在給定的依賴集但蘊含于
其中的依賴；
??? (2)關系模式R分解成屬于BCNF的關系模式的集合。
??? 參考答案：
(1)參看主教材P．122例6．1，共有14個非平凡函數依賴(包括已知的和導出的)
C→A，C→D，D→A
AB→C，AB→D，AC→D，BC→A，BC→D，BD→A，BD→C，CD→A
ABC→D，ABD→C，BCD→A
??? 共有3個鍵碼：AB，BC，BD
??? 其決定因素不包含鍵碼的函數依賴即為BC范式的違例，如下所示：
??? C→A，C→D，D→A，AC→D，CD→A
??? (2)以違例C→D為基礎進行分解：
??? Rl(C，D)，R2(A，B，C)
??? R1屬于BC范式。
??? R2有函數依賴C→A，AB→C，BC→A
??? AB+=ABC．BC+=ABC
??? AB，BC均為鍵碼。
??? 函數依賴C→A為BC范式違例。于是R2又可分解為：
??? R3(A，C)，R4(B，C)
??? 至此，R分解為R1，R3，R4，均屬于BC范式。