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數學建模
??? 隨著社會的發展，數學在社會各領域中的應用越來越廣泛，作用越來越大，不但運用于自然科學各學科、各領域，而且滲透到經濟、軍事、管理以至于社會科學和社會活動的各領域。但是，社會對數學的需求并不只是需要數學家和專門從事數學研究的人才，而更大量的是需要在各部門中從事實際工作的人善于運用數學知識及數學的思維方法來解決他們每天面臨的大量的實際問題，取得經濟效益和社會效益。他們不是為了應用數學知識而尋找實際間題（就像在學校里做數學應用題），而是為了解決實際問題而需要用到數學。而且不止是要用到數學，很可能還要用到別的學科、領域的知識，要用到工作經驗和常識。特別是在現代社會，要真正解決一個實際問題幾乎都離不開計算機。可以這樣說，在實際工作中遇到的問題，完全純粹的只用現成的數學知識就能解決的問題幾乎是沒有的。你所能遇到的都是數學和其他東西混雜在一起的問題，不是"干凈的"數學，而是"臟"的數學。其中的數學奧妙不是明擺在那里等著你去解決，而是暗藏在深處等著你去發現。也就是說，你要對復雜的實際問題進行分析，發現其中的可以用數學語言來描述的關系或規律，把這個實際問題化成一個數學問題，這就稱為數學模型，建立數學模型的這個過程就稱為數學建模。
模型這個詞對我們來說并不陌生，它可以說是對某種事物的一種仿制品。比如飛機模型，就是模仿飛機造出來的。既然是仿造，就不是真的，只能是"假冒"。是 "假冒"，但不能是"偽劣"，必須真實地反映所模仿的對象的某一方面的屬性。如果只是模仿飛機的模樣，這樣的飛機模型只要看起來像飛機就行了，可以擺在展覽館供人參觀、照相，但不能飛。
如果要模仿飛機的飛行原理，就得造一個能飛起來的飛機模型，比如航空模型比賽的作品，它在空氣中的飛行原理與飛機有相似之外，但當然不像飛機那樣靠燒燃料來飛行，外觀上也不必那么像飛機、至少不必有真的飛機那么大。可見，模型所模仿的都只是真實事物的某一方面的屬性。而數學模型，就是用數學語言（可能包括數學公式）去描述和模仿實際問題中的數量關系、空間形式等。這種模仿當然是近似的，但又要盡可能逼真。實際問題中有許多因素，在建立數學模型時你不可能、也沒有必要把它們毫無遺漏地全部加以考慮，只能考慮其中的最主要的因素，舍棄其中的次要因素。數學模型建立起來了，實際問題化成了數學問題，就可以用數學工具、數學方法去解答這個實際問題。如果有現成的數學工具當然好。如果沒有現成的數學工具，就促使數學家們（也包括建立數學模型的人）尋找和發展出新的數學工具去解決它，這又推動了數學本身的發展。例如，開普勒由行星運行的觀測數據總結出開普勒三定律（這就是行星運行的數學模型），牛頓試圖用自己發現的力學定律去解釋它，但當時已有的數學工具是不夠用的，這促使了微積公的發明。求解數學模型，除了用到數學推理以外，通常還要處理大量數據，進行大量計算，這在電子計算機發明之前是很難實現的。因此，很多數學模型，盡管從數學理論上解決了，但由于計算量太大而沒法得到有用的結果，還是只有束之高閣。而電子計算機的出現和迅速發展，給用數學模型解決實際問題打開了廣闊的道路。而在現在，要真正解決一個實際問題，離了計算機幾乎是不行的。數學模型建立起來了，也用數學方法或數值方法求出了解答，是不是就萬事大吉了呢？不是。既然數學模型只能近似地反映實際問題中的關系和規律，到底反映得好不好，還需要接受檢驗，如果數學模型建立得不好，沒有正確地描述所給的實際問題，數學解答再正確也是沒有用的。因此，在得出數學解答之后還要讓所得的結論接受實際的檢驗，看它是否合理，是否可行，等等。如果不符合實際，還應設法找出原因，修改原來的模型，重新求解和檢驗，直到比較合理可行，才能算是得到了一個解答，可以先付諸實施。但是，十全十美的答案是沒有的，已得到的解答—定還有改進的余地，還可以根據實際情況，或者繼續研究和改進；或者暫時告一段落，待將來有新的情況和要求后再作改進。
上面所說的建立數學模型來解決實際問題的過程，是各行各業各領域大量需要的，也是我們的學生在走上工作崗位后常常要做的工作。做這樣的事情，所需要的遠不只是數學知識和解數學題的能力，而需要多方面的綜合知識和能力。社會對具有這種能力的人的需求，比對數學專門人才的需求要多得多。因此，作為教育部門，在學校里就應當努力培養和提高學生在這方面的能力。當然有多種形式來達到這個目的。比如開設數學模型方面的課程；讓學生多接觸實際工作，得到鍛煉，等等。但是，既然開展數學競賽能促進數學研究專門人才的培養，那么為什么不可以開展一項競賽來促進數學應用人才的培養呢？
數學建模競賽就是這樣的競賽。
數學建模競賽
正是由于認識到培養應用型數學人才的重要性，而傳統的數學競賽不能擔當這個任務，從1983年起，在美國就有一些有識之士開始探討組織一項應用數學方面的競賽的可能性。經過論證、爭論、爭取資助的過程，終于在1985年開始有了美國的第一屆大學生數學建模競賽，簡稱MCM（1987年以前的全稱是 Mathematical Competition in Modeling，1987年改為Mathematical Contest in Modeling，其縮寫均為MCM）。競賽由美國工業與應用數學學會和美國運籌學會聯合主辦。從1985年起每年舉行一屆，在每年的二月下旬或三月初的某個星期五到星期日舉行，到1996年已舉行了12屆。
這項競賽的宗旨是鼓勵大學生運用所學的知識（包括數學知識及其他各方面的知識）去參與解決實際問題的全過程。這些實際問題并不限于某個特定領域，可以涉及非常廣泛的、并不固定的范圍。這樣來促進應用人才的培養。
比賽的形式：比賽是真正的團體賽，每個參賽隊由三人組成，在規定的三天時間內共同完成一份答卷。每個參賽隊有一個指導教師，在比賽前負責培訓并接受考題，將考題在規定的時間發給學生，然后由學生自行做題，教師不得參賽。每次的考題只有兩個題，都是來自實際的問題或有強烈實際背景的問題，沒有固定的范圍，可能涉及各個非常不同的學科、領域。每個參賽隊從這兩個考題中任意選做一個題。參賽隊的三名隊員可以相互討論，可以查閱資料，可以使用計算機和計算機軟件。一言以蔽之：可以使用任何非生命的資源，但不允許三人以外的其他人（包括指導教師）幫助做題。參賽隊的答卷應是，一篇完整的論文，包括對所選問題的重新闡述、對問題的條件和假設的闡明和必要補充甚至修改、對為什么要用所述模型的分析、模型的設計、對模型的測試和檢驗的討論、模型的優缺點等，還要有一個不超過一頁的論文內容的摘要。
比賽的結果：專家們在評卷時并不對論文給出分數，也不采用"通過"、"失敗"這種記分，而只是將論文分成一些等級：Outstanding（中國人稱它為特等獎）、Meritorious（一等獎〕、Honorable Mention（二等獎）、Successful Participation（成功參賽獎）。評卷的標準并不是看答案對不對，而主要看論文的思想方法好不好，以及論述是否清晰。Outstanding的論文作為優秀論文在專業雜志上發表。而所有參賽的隊員和教練都能得到一張獎狀。
翻開已發表的MCM的優秀論文，你會發現：同一個考題的幾篇優秀論文甚至連答數都不一樣，卻同樣都優秀；優秀論文甚至被專家的評閱意見指出一大堆毛病，卻仍不失為優秀。在這里，正確和錯誤是相對的，優秀和不優秀也是相對的。這在純數學競賽中是不可思議的。但既然數學建模賽是考察解決實際問題的能力，那就一切都以解決實際問題的過程為準。解決實際問題需要查資料，需要使用計算機，需要課題組的人相互交流和討論，因此數學建模競賽也就允許使用這些"非生命的資源"。同樣，實際問題的解決，常常沒有絕對的正確與錯誤，也沒有絕對的優秀，數學建模競賽也就這樣，但這并不是說數學建模競賽就沒有是非和好壞的標準。論文中各種不同意見、不同答案可以并存，只要能夠言之成理。但如果你像解答純數學題那樣去做，只有數學公式和計算，而不講清實際問題怎么變成數學公式，也不讓計算結果再接受實際檢驗，即使答案正確，論文也很難評上好的等級。這是因為，它不是數學競賽，而是數學建模競賽，它看重的是三個步驟：
1、建立模型：實際問題→數學問題；
2、數學解答：數學問題→數學解；
3、模型檢驗：數學解→實際問題的解決。
如果你只重視中間一個步驟（一般初參賽的時候容易犯這個錯誤），而對第一和第三這兩個步驟不予重視，那就違背了數學建模競賽的宗旨，當然就不能得到好的結果了。為什么要叫數學建模競賽？就是因為它賽的是建立數學模型，而不只是比賽解答數學模型。—般也把它叫做數學模型賽，這也沒有什么不對。但"模型"是"建模"的結果，而"建模"是建立模型的過程。競賽的宗旨更強調的是建立數學模型這個過程，認為過程比結果更重要。所以，在競賽中允許將未能最后完成的建模過程、未能最后實現的想法寫成論文，參加評卷。雖然你的模型還沒能最后建立起來，但只要想法有價值，己經開始了的建模過程有合理性，就仍然是有可取之處的論文。這充分體現了競賽對建模過程的重視。從這點上說，把它稱為"數學建模競賽"比"數學模型競賽"更貼切些。何況，它的英文名稱MCM中的最后一個M是Modeling而不是Model。如果用 Model，是名詞，是指建立起來的模型。而Modeling是由動詞Model變成的動名詞，是指建立模型的過程，因此翻譯成建模也更恰當些。（注：關于"模型"與"建模"的區別，這里采用的是北京理工大學葉其孝教授的觀點。）
美國的MCM雖然只是美國的國內賽，但它歡迎其他國家的大學組隊參加，而且有越來越多的國家的大學參加這一競賽。因此，在某種意義上它已經是國際性的競賽，我國最早是在1989年有北京的三所大學組隊參加美國的MCM競賽。到后來，我國參加MCM的學校越來越多。經過醞釀、籌備和在一些城市試辦，從 1992年開始由中國工業與應用數學學會舉辦我國自己的全國大學生數學模型競賽（CMCM），國家教委對這項活動十分重視，決定從1994年起由國家教委高教司和中國工業與應用數學學會共同舉辦，每年一次，我國自己的MCM雖然舉辦的時間還不長，但發展非常迅速。在1995年的競賽中，全國就共有259所高校、1234個隊、3702名學生參加。可以預料，MCM在我國將得到更加蓬動、健康的發展。