JVM支持IEEE-754浮點數(shù)標準（1985）。該標準定義了32位和64位浮點數(shù)的格式，以及在此之上的各種運算。在JVM中，浮點運算是基于32位float數(shù)和64位double數(shù)的。對每個操作float數(shù)的字節(jié)碼，都有一個對應的操作double數(shù)的版本。
浮點數(shù)由4部分組成：數(shù)符（sign），尾數(shù)（mantissa），基數(shù)（radix）和階碼（exponent）。數(shù)符取1或-1。尾數(shù)是一個正數(shù)，它持有浮點數(shù)的有效位。階碼是尾數(shù)和符號位應該乘以的基數(shù)的正（負）冪數(shù)。這4個部分用下面的公式得到浮點數(shù)的值：
| sign * mantissa * radixexponent |
浮點數(shù)有很多種表現(xiàn)形式，因為你總是可以把浮點數(shù)的尾數(shù)乘以基數(shù)的某次冪，然后通過改變階碼的方式獲得原先的值。例如，-5可以寫成如下以10為基數(shù)的形式：
| Sign |
Mantissa |
Radix |
Exponent |
| -1 |
50 |
10 |
-1 |
| -1 |
5 |
10 |
0 |
| -1 |
0.5 |
10 |
1 |
| -1 |
0.05 |
10 |
2 |
每個浮點數(shù)都有一個規(guī)范化的表示形式。如果浮點數(shù)的尾數(shù)符合下面的公式，我們就說這個浮點數(shù)是規(guī)范化的。
規(guī)范化的以10為基數(shù)的浮點數(shù)，尾數(shù)的小數(shù)點出現(xiàn)在第一個非0的有效位前面。-5的規(guī)范化形式是-1*0.5*10 1。也就是說，規(guī)范化的浮點數(shù)中，小數(shù)點的左邊是0，右邊第一位不是0。其他不是這種形式的浮點數(shù)都是非規(guī)范化數(shù)。注意，0沒有規(guī)范化的形式，因為它沒有非0數(shù)放在小數(shù)點后面。數(shù)字0們總是感嘆“為什么要規(guī)范化我們呢？”。
JVM中的浮點數(shù)以2為基數(shù)，所以JVM中的浮點數(shù)值用下面的公式獲得：
| sign * mantissa * 2exponent |
JVM中的浮點數(shù)的尾數(shù)用2進制數(shù)表示。規(guī)范化的二進制數(shù)小數(shù)點出現(xiàn)在非0最高有效位前面。由于二進制數(shù)系統(tǒng)只有2個數(shù)字，1和0，所以最高有效位上的數(shù)字總是1。
float和double數(shù)的最高有效位是它的符號位，float的最后23位是尾數(shù)位，而double則為最后52位。階碼處在符號位和尾數(shù)中間，float為8位，double為11位。float的完整2進制形式如下，s表示符號位，e表示階碼，m表示尾數(shù)。
| s eeeeeeee mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm |
正數(shù)的符號位為0，負數(shù)的符號位為1。尾數(shù)總是一個正的二進制數(shù)，但不是二進制補碼數(shù)。如果符號位為1，浮點數(shù)的值是負的，但尾數(shù)仍然是正的。
階碼有3種解釋方式。如果階碼位全是1，意味著這是一個特殊的浮點數(shù)，表示正無窮或負無窮，或者不是一個數(shù)（NaN）。NaN是特定運算的結(jié)果，比如除法的除數(shù)是0。階碼的所有位為0，表示這是一個非規(guī)范化的浮點數(shù)。除上面2種情況之外的階碼，都是規(guī)范化浮點數(shù)的一部分。
尾數(shù)部分其實隱式包含了一個額外的精度位。float數(shù)的尾數(shù)占23位，卻有24個精度位；同一樣的，double數(shù)的尾數(shù)占52位，卻有53個精度位。因為尾數(shù)部分的最高有效位是可以被預測的，所以并沒有包含在尾數(shù)中。JVM中，浮點數(shù)的階碼可以指明該數(shù)是不是一個規(guī)范化浮點數(shù)。如果階碼位全0，則為非規(guī)范化數(shù)，且最高有效位肯定是0。其他情況下，則為規(guī)范化浮點數(shù)，且最高有效位肯定是1。
在JVM中，任何浮點運算都不會拋出異常。類似除數(shù)為0的問題操作，JVM會返回一些特殊值，比如正/負無窮，或NaN。尾數(shù)位全是0的情況下，如果階碼位全是1，符號位是0，則表示正無窮；如果階碼位全是1，符號位是1，則表示負無窮。如果階碼位全是1，尾數(shù)位不全是0，則表示NaN。JVM總是為NaN使用相同的尾數(shù)：最高有效位是1，其他全為0。下表列出了上面提到的3中特殊值：
| Special float values |
Float bits (sign exponent mantissa) |
| +Infinity |
0 11111111 00000000000000000000000 |
| -Infinity |
1 11111111 00000000000000000000000 |
| NaN |
1 11111111 10000000000000000000000 |
非全0和非全1的階碼表示規(guī)范化尾數(shù)要乘以的2的冪數(shù)。可以把階碼當做一個正數(shù)，然后減去一個偏移量，這樣就能得到實際的冪數(shù)。對float數(shù)來說，偏移量是126；而double數(shù)，則為1023。例如，一個float數(shù)的階碼為00000001，則冪數(shù)為-125（1 – 126），這是float中最小的冪數(shù)。再看一個例子，如果階碼是11111110，則冪數(shù)為128（254 – 126），這是float中最大的冪數(shù)。下表列出了一些正規(guī)化的浮點數(shù)：
| Normalized float values |
Float bits (sign exponent mantissa) |
Unbiased exponent |
| Largest positive (finite) float |
0 11111110 11111111111111111111111 |
128 |
| Largest negative (finite) float |
1 11111110 11111111111111111111111 |
128 |
| Smallest normalized float |
1 00000001 00000000000000000000000 |
-125 |
| Pi |
0 10000000 10010010000111111011011 |
2 |
階碼位全0，說明尾數(shù)沒有規(guī)范化，也隱含說明了最高有效為是0，而不是1。這種情況下，冪數(shù)為浮點數(shù)的最小冪數(shù)。對float來說，是-125。這意味著，規(guī)范化尾數(shù)乘以2 -125的浮點數(shù)，它的階碼為00000001，而非規(guī)范化尾數(shù)乘以2 -125的浮點數(shù)，它的階碼為00000000。階碼范圍底端的非規(guī)范化數(shù)修正值，使得下溢出較為平緩。如果最小階碼用來表示規(guī)范化數(shù)，下溢成0的最小數(shù)值會更大一些。 換句話說，讓最小階碼表示非規(guī)范化數(shù)，可以使浮點數(shù)能表示更小的數(shù)值。雖然非規(guī)范化數(shù)的精度沒有規(guī)范化數(shù)高，但是，這相對于階碼一旦達到最小規(guī)范化數(shù)值，浮點數(shù)就會下溢成0來說，非規(guī)范化數(shù)更好一些。
| Denormalized float values |
Float bits (sign exponent mantissa) |
| Smallest positive (non-zero) float |
0 00000000 00000000000000000000001 |
| Smallest negative (non-zero) float |
1 00000000 00000000000000000000001 |
| Largest denormalized float |
1 00000000 11111111111111111111111 |
| Positive zero |
0 00000000 00000000000000000000000 |
| Negative zero |
1 00000000 00000000000000000000000 |
本文譯自：Floating-point arithmetic