辗�{盔R��法原理及Java实现

Fri, 28 Dec 2007 04:41:00 GMT

辗�{盔R��?
「辗转相除法」又叫做「欧几里得算法�?是公元前 300 �q�左右的希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》提出的.利用�q�个�Ҏ��,可以较快地求��Z��个自然数的最大公因数,�?HCF 或叫�?gcd.
最大公�U�数�Q�greatest common divisor�Q�简写�ؓgcd�Q�或highest common factor�Q�简写�ؓhcf)
所谓最大公因数,是指几个数的共有的因��C��中最大的一�?例如 8 �?12 的最大公因数�?4,��C�� gcd(8,12)=4.
在介�l�这个方法之�?先说明整除性的一些特�?注以下文的所有数都是正整�?以后不再重覆.
我们可以�q�样�l�出整除以的定义:
�Ҏ��两个自然�?a �?b,若存在正整数 q,使得 a=bq,�?b 能整�?a,��C�� b | a,我们�?b �?a 的因�?�?a �?b 的倍数.
那麼如果 c | a,而且 c | b,�?c �?a �?b 的公因数.
由此,我们可以得出以下一些推�?
推论一:如果 a | b,�?k 是整�?�?a | kb.因�ؓ�?a | b 可知 ha=b,所�?(hk)a=kb,�?a | kb.
推论�?如果 a | b 以及 a | c,�?a | (b±c).因�ؓ�?a | b 以及 a | c,可知 ha=b,ka=c,二式相加,�?(h+k)a=b+c,�?a | (b+c).同样把二式相减可�?a | (b-c).
推论�?如果 a | b 以及 b | a,�?a=b.因�ؓ�?a | b 以及 b | a,可知 ha=b,a=kb,因此 a=k(ha),hk=1,由於 h �?k 都是正整�?�?h=k=1,因此 a=b.
辗�{盔R��法是用来计算两个数的最大公因数,在数值很大时��其有用而且应用在电脑程式上也十分简�?其理论如�?
如果 q �?r �?m 除以 n 的商及余�?�?m=nq+r,�?gcd(m,n)=gcd(n,r).
证明是这��L��:
�?a=gcd(m,n),b=gcd(n,r)
则有 a | m �?a | n,因此 a | (m-nq)(�q�是由推��Z��及推��Z��得出�?,�?a | r �?a | n,所�?a | b
�?b | r �?b | n,所�?b | (nq+r),�?b | m �?b | n,所以b | a.因�ؓ a | b �q�且 b | a,所�?a=b,�?gcd(m,n)=gcd(n,r).
例如计算 gcd(546, 429),由於 546=1(429)+117,429=3(117)+78,117=1(78)+39,78=2(39),因此
gcd(546, 429)
=gcd(429, 117)
=gcd(117, 78)
=gcd(78, 39)
=39

Java实现代码如下:

package com;

public class GcdTest
{
    //循环实现
    int gcd1(int a, int b)
    {
        int k = 0;
        do
        {
            //得到余数
            k = a % b;
            //�Ҏ��辗�{盔R��?把被除数赋给除数
            a = b;
            //余数赋给被除�?/span>
            b = k;
        } while (k != 0);
        //�q�回被除�?/span>
        return a;
    }
    //逆归实现
    int gcd2(int a,int b)
    {
        //直到满��此条仉��归退�?/span>
        if(b == 0)
        {
            return a;
        }
        if(a < 0)
        {
            return gcd2(-a,b);
        }
        if(b < 0)
        {
            return gcd2(a,-b);
        }
        return gcd2(b,a % b);
    }

    public static void main(String[] args)
    {
        GcdTest gt = new GcdTest();
        System.out.println(gt.gcd1(888,458));
        System.out.println(gt.gcd2(888, 458));
    }

}

々上善若水�?/a> 2007-12-28 12:41 发表评论

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