ï»??xml version="1.0" encoding="utf-8" standalone="yes"?>亚洲AV人无码综合在线观看,久久精品亚洲福利,中国亚洲女人69内射少妇http://www.tkk7.com/WangBNU/category/3481.html▓木‹¹®äºŽæ°?而皓月当½Iºâ–“ å…Ïx³¨Java½E‹åºè®¾è®¡â–“Linux¾pÈ»Ÿâ–“äh工智èƒ?AI)˜q›å±•▓数学▓ zh-cnFri, 28 Dec 2007 18:20:57 GMTFri, 28 Dec 2007 18:20:57 GMT60¾_—糙集工兯‚ÊYä»¶MyRS0.1预览版å‘å¸?/title><link>http://www.tkk7.com/WangBNU/archive/2006/08/24/65431.html</link><dc:creator>LoveBNU ž®å…­ WangBNU</dc:creator><author>LoveBNU ž®å…­ WangBNU</author><pubDate>Thu, 24 Aug 2006 01:38:00 GMT</pubDate><guid>http://www.tkk7.com/WangBNU/archive/2006/08/24/65431.html</guid><wfw:comment>http://www.tkk7.com/WangBNU/comments/65431.html</wfw:comment><comments>http://www.tkk7.com/WangBNU/archive/2006/08/24/65431.html#Feedback</comments><slash:comments>82</slash:comments><wfw:commentRss>http://www.tkk7.com/WangBNU/comments/commentRss/65431.html</wfw:commentRss><trackback:ping>http://www.tkk7.com/WangBNU/services/trackbacks/65431.html</trackback:ping><description><![CDATA[        <br />   ˜q™æ˜¯ä¸€ä¸ªç®€å•çš„¾_—糙集工å…?目标是实现粗¾p™é›†å¸¸ç”¨çš„ç®—æ³?<br /> 一个多月剘q™ä¸ªç‰ˆæœ¬ž®±å¼€å‘完äº?ç”׃ºŽè‡ªå·±æ¶ˆæžæ€ å·¥çŽ°åœ¨æ”‘Ö‡ºæ?è¯¥æ”¶æ”¶å¿ƒåšæ­£äº‹å•¦.<br />    <span style="color: red;"> <a ><span style="color: red;">工程主页åŠä¸‹è½?/span></a></span>åQ?nbsp;  http://code.google.com/p/myrs/<br /> <br />     <a title="linux版本" >Linux版本下è²</a><br />     <a title="windows版下è½? >windows版下è½?/a><br /> <br /> <br /> 主è¦åŠŸèƒ½(截止2006.7.18):<br />   1.  å¯ä»¥è®¡ç®—正域,正域å¯ä»¥è®¡ç®—,那负åŸ?ä¸Šé€ÆD¿‘é›?¾_—ç³™¾_‘Öº¦,质釘q™äº›æŒ‡æ ‡ä¹Ÿå¯ä»?br />    2. 计算属性é‡è¦æ€?br />    3 计算出属性的æ ?br />    4 ½Ž—出属性的¾U¦ç®€<br />   5  ½Ž€å•çš„¾lŸè®¡åŠŸèƒ½,ç›®å‰æœ‰æŸ±çŠ¶å›¾æ˜„¡¤º,å¯èƒ½æœ‰bug.<br />    6 .½Ž€å•çš„complete功能<br />   7.  å¯ä»¥˜q›è¡Œ¼›ÀL•£åŒ?<br />    8.  规则æå–...<br /> <br /> <br /> 以下是程åºåœ¨Linux Debian下è¿è¡Œæ—¶å±å¹•截图:<br /> <img src="http://www.tkk7.com/images/blogjava_net/wangbnu/14400/o_my1.jpg" alt="o_my1.jpg" border="0" height="658" width="896" /><br /> <br /> <br /> 注æ„ä¸‹è²æ–‡äšg是用  Linuxä¸?7zip压羃çš? 下完åŽè¯·ç”?zip 或winrar高版本解åŽ?˜q™ä¸ªblogé™åˆ¶åªèƒ½<br /> 上传rar ,zipæ–‡äšg,所以我改了åŽç¼€ä¸ºrar,实际æ˜?7zæ ¼å¼,7zip是比rar压羃率更高的工具.<br /> ç”׃ºŽ˜q™ä¸ªblog˜q˜é™åˆ¶å•个文件最å¤?m,所以我写了个å°åŽ‹ç¾ƒå·¥å…·æ”‘Öœ¨å®‰è£…目录ä¸?å’?zip一起压¾~©æ•ˆæžœä¸é”?<br /> 原先安装文äšg7Må¤?å•纯ç”?zip或winrar压羃åªèƒ½åŽ‹åˆ°6må¤?é…åˆé‚£ä¸ªåŽ‹ç¾ƒå·¥å…·å¯ä»¥åŽ‹åˆ°1.5M,<br /> 䏋颿˜¯å®‰è£…目录下readmeæ–‡äšg:<br /> <br /> 安装说明:<br />     ½E‹åºè¦æ±‚机å­ä¸Šå·²¾l安装了java虚拟æœ?最低è¦1.5以上,1.6最å¥?..<br />  1.  下è²<br />      http://www.tkk7.com/wangbnu<br />  2.  解压:<br />       a.   æ–‡äšgç”?zip å’?自己写的ž®åŽ‹¾~©å·¥å…·åŽ‹çš?所以解压分2æ­?br />            先用 7zip 解压(winrar高版本也å¯ä»¥æ”¯æŒ7zipæ ¼å¼)<br /> <br />       b.    å†ç”¨è§£åŽ‹å¼€çš„ç›®å½•é‡Œé¢çš„myunpack200.jar 解压.<br />             <br />         Linux/Unix å¯ä»¥ç›´æŽ¥åœ¨å‘½ä»¤è¡Œæ‰§è¡Œ:   java -jar MyUnpack200.jar  -x  ./ <br /> <br />         window å¯ä»¥ç›´æŽ¥åŒå‡» run.batæ‰¹å¤„ç†æ–‡ä»¶è‡ªåŠ¨è§£åŽ?<br /> <br /> 3.   ˜q行:<br />       Linux/Unix    命ä×o行输å…?nbsp; :   ./MyRS  回èžR<br /> <br />       window   :    åŒå‡»startup.jar  或åŒå‡?MyRS   或直接在dos下å¯åŠ?..<br /> <br /> <br />       enjoy  it! <br /> <br /> <br /> <img src ="http://www.tkk7.com/WangBNU/aggbug/65431.html" width = "1" height = "1" /><br><br><div align=right><a style="text-decoration:none;" href="http://www.tkk7.com/WangBNU/" target="_blank">LoveBNU ž®å…­ WangBNU</a> 2006-08-24 09:38 <a href="http://www.tkk7.com/WangBNU/archive/2006/08/24/65431.html#Feedback" target="_blank" style="text-decoration:none;">å‘表评论</a></div>]]></description></item><item><title>䏀使•°å­¦å®¶çš„æ±‚婚å²!(joke)http://www.tkk7.com/WangBNU/archive/2006/03/11/34843.htmlLoveBNU ž®å…­ WangBNULoveBNU ž®å…­ WangBNUSat, 11 Mar 2006 10:33:00 GMThttp://www.tkk7.com/WangBNU/archive/2006/03/11/34843.htmlhttp://www.tkk7.com/WangBNU/comments/34843.htmlhttp://www.tkk7.com/WangBNU/archive/2006/03/11/34843.html#Feedback0http://www.tkk7.com/WangBNU/comments/commentRss/34843.htmlhttp://www.tkk7.com/WangBNU/services/trackbacks/34843.html
摘录如下:

        " 如果有所谓的数学头脑的è¯,那么è¾Ò޲(1748-1832)ž®±å…·æœ‰è¿™¿U头è„?ä»–çš„æ€ç»´é€»è¾‘性最å¼?而且一ä¸ä¸è‹?对一个简å•的命题哪怕有
一ä¸ç‚¹æ€€ç–?ž®Þpƒö以ä‹É他中止一部书的写ä½?而开始é‡å¯ç‚‰ç?ä»–åšæŒä¸æ‡ˆåЛ囄¡»™æ‰€æœ‰çŸ¥è¯†åˆ†¾c?æ ÒŽ®æ­£ç¡®çš„æ¦‚å¿µå’Œé€»è¾‘å…³ç³»åŠ ä»¥¾l?br>
¾l?例如,ž®†å…·ä½“概念归于一般概å¿?ž®†æ¦‚å¿µåˆ†è§£äØ“åŸºæœ¬æˆåˆ†.äºÞZ»¬äº²åˆ‡¿UîC»–为编½‹¡ç‹‚.
   
          å³ä‹É是他的缺ç‚?--特别表现在æ‹çˆ±æ–¹é?--也和他结交的数学家有共åŒç‚?在过äº?7òq´ä¸˜q‘女色的生活以åŽ,他决定结å©?òq¶ä¸”䏸™‡ªå·?br>
的选择˜q›è¡Œäº†ä¸€ç•?font color="#008000">¾l†å¿ƒçš„æŽ¨ç?/font>.然厾l™ä¸€ä¸?font color="#008000">16òq´æ²¡è§è¿‡é?/font>的女å‹å†™äº†ä¸€ž®æ±‚婚信,他被拒ç»äº?但他求婚的逻辑ä¾ç„¶å¦‚æ•….于是,在过

äº?2òq´ä»¥å?他冋ơå‘é‚£ä½å¦‡å¥³æ±‚婚,在这22òq´å…¶é—?他釿–îC»”¾l†çš„è®ø™¯äº†è‡ªå·Þqš„æŽ¨è®º,è®¤äØ“æ±‚å©šæ˜¯æ— æ‡ˆå¯å‡Èš„.他希望那女äh在这期间å­?br>
了一些数å­?˜q™æ ·å¥¹å°±å¯ä»¥è®¤è¯†åˆîC»–çš?font color="#008000">求婚逻辑是何½{‰ä¸¥å¯†æœ‰åŠ?/font>.昄¡„¶,é‚£ä½å¥³ähä¾ç„¶ç›æ€¿¡å¥¹çš„逻辑--å³ç›´è§?/font>,因䨓她å†ä¸€‹Æ¡æ‹’¾l了

ä»?"


 å€Ÿç”¨<<围城>>里é¢çš„一å¥è¯æ¥è¯´ž®±æ˜¯:"˜q™æ˜¯æ•°å­¦å²ä¸Šè‡ªæœ‰ç›´è§‰ä¸ÖM¹‰å’Œé€»è¾‘ä¸ÖM¹‰è®ºæˆ˜ä¸€æ?直觉ä¸ÖM¹‰é¦–次大胜!".  :-P

     


   

    ˜q˜æœ‰ä¸€ŒD?br>
    " ½C¾ä¼š¿U‘学家希望数学家在社会科学这一领域å–得和其他纯¿U‘å­¦é¢†åŸŸåŒæ ·è¾‰ç…Œçš„æˆž®?¾ŸŽé…’,¾ŸŽå¥³,歌曲,以åŠèŽ·å¾—˜q™äº›

äº«å—æ‰€å¿…需的胦å¯?都æˆä¸ºæ•°å­¦çš„研究对象."

   

    现在¾lˆäºŽçŸ¥é“æ–­ç« å–义的å¨åŠ›äº†,本æ¥å¾ˆä¸¥è‚ƒçš„一本书,˜q™æ ·ä¸œæ‹†è¥¿æ‘˜çš„就䏿ˆæ ·å­äº? Just  a Joke!
    
                                                                                                                                                                                  WangBNU
                                                                                                                                                                                                 2006.3.10


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¾_—糙集学习笔è®?1)---基本概念http://www.tkk7.com/WangBNU/archive/2005/09/29/14363.htmlLoveBNU ž®å…­ WangBNULoveBNU ž®å…­ WangBNUWed, 28 Sep 2005 16:02:00 GMThttp://www.tkk7.com/WangBNU/archive/2005/09/29/14363.htmlhttp://www.tkk7.com/WangBNU/comments/14363.htmlhttp://www.tkk7.com/WangBNU/archive/2005/09/29/14363.html#Feedback6http://www.tkk7.com/WangBNU/comments/commentRss/14363.htmlhttp://www.tkk7.com/WangBNU/services/trackbacks/14363.html
           ¾_—糙集是波兰ç†å·¥å¤§å­¦Z.Pawlak教授æå‡ºç”¨æ¥ç ”ç©¶ä¸å®Œæ•´æ•°æ?ä¸ç²¾¼‹®çŸ¥è¯†çš„表达.学习.归纳½{‰æ–¹æ³•的一套ç†è®?从数学的è§?br />
度看,¾_—糙集是研究集åˆçš?从编½E‹çš„角度çœ?¾_—糙集的研究对象 ž®±æ˜¯çŸ©é˜µ,åªä¸˜q‡æ˜¯ä¸€äº›ç‰¹ŒDŠçš„矩阵;从äh工智能的角度çœ?¾_—ç³™é›?br />
研究的是决策�

         ä»ÖM½•一个新的ç†è®?éƒ½è¦æœ‰ä¸€äº›åŸºæœ¬æ¦‚å¿?ç„¶åŽåœ¨è¿™äº›åŸºæœ¬æ¦‚å¿ëŠš„基础上展开讨论. 先看看基本概忉|œ‰é‚£äº›:

1.   知识:  
               对对象分¾cÈš„能力.˜q™å„¿çš„对象指ä»ÖM½•东西, 一般å«è®ºåŸŸ.表现为U中ä“Q何å­é›†æ—.

2.  
论域U:
               
实际上就是数学里é¢çš„集åˆ.

3.    R属æ€?知识R=½{‰ä­h关系R=分类
                属性åtable表格里é¢çš„列,知识是äh工智能里é¢çš„æœ¯è¯­.½{‰ä­h关系是数学上 çš„è¯æ±?åˆ†ç±»æ˜¯æ•°æ®æŒ–掘里é¢çš„å’šå’š.实际ä¸?

者指的是åŒä¸€æ¦‚念.

4.     知识� 
                 U上的分类æ—å°±å«çŸ¥è¯†åº“.


  


  • ½{‰ä­h关系=属æ€?知识=分类
  • åˆç­‰èŒƒç•´:所有具有特定属性的物体构æˆçš„å­é›?
  • 基本范畴:  由刽{‰èŒƒç•´æž„æˆ?
  • 知识½{‰ä­h: ind(P)=ind(Q) ž®Þp¯´På’ŒQ½{‰ä­h.
  • 推广:  P ž®äºŽQ,ž®Þp¯´P为Q的特åŒ?Q为P的推òq?
  • 特化:



å‚考书ç›? 
                    <<¾_—集ç†è®ºåŠå…¶åº”用>>  æ›ùN»„éº?    ¾~–著  é‡åº†å¤§å­¦å‡ºç‰ˆ½C?br />                     <<¾_—糙集ç†è®ÞZ¸Žæ–ÒŽ³•>>  张文修等 ¾~–è‘— ¿U‘学出版½C?br />
䏋颿˜¯æˆ‘写的一ä¸?a href="/WangBNU/archive/2006/08/24/65431.html">¾_—糙集å°å·¥å…·,感兴­‘£çš„å¯ä»¥åŽÈœ‹çœ?

http://www.tkk7.com/WangBNU/archive/2006/08/24/65431.html





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★数学简åœy˜…http://www.tkk7.com/WangBNU/archive/2005/09/28/14249.htmlLoveBNU ž®å…­ WangBNULoveBNU ž®å…­ WangBNUTue, 27 Sep 2005 16:13:00 GMThttp://www.tkk7.com/WangBNU/archive/2005/09/28/14249.htmlhttp://www.tkk7.com/WangBNU/comments/14249.htmlhttp://www.tkk7.com/WangBNU/archive/2005/09/28/14249.html#Feedback2http://www.tkk7.com/WangBNU/comments/commentRss/14249.htmlhttp://www.tkk7.com/WangBNU/services/trackbacks/14249.html

公元�/font>

        ¾U¦å…¬å…ƒå‰4000òq?/font>åQŒä¸­å›½è¥¿å®‰åŠå¡çš„陶器上出现数字刻½W¦ã€?/p>

  公元å‰?000~å‰1700òq?/font>åQŒå·´æ¯”äëu的惔版上出现数学记è²ã€?/p>

  公元å‰?700òq?/font>åQŒä¸­å›½é»„叿—¶ä»£ä¼ è¯´éš¶é¦–åš½Ž—æ•°ä¹‹è¯´åQŒå¤§æŒ å‘明了甲å­ã€?/p>

  公元å‰?500òq´å‰åQ?/font>æ®ä¸­å›½æˆ˜å›½æ—¶ž®æ€½¼è‘—《尸å­ã€‹è®°è½½ï¼šâ€œå¤è€…,é™?æ³¨ï¼šä¼ è¯´ä¸ºé»„å¸æˆ–ž®§æ—¶äº?䏸™§„ã€çŸ©ã€å‡†ã€ç‘ÑåQŒä‹É天下仿焉â€ã€‚这相当于在已有“圆åQŒæ–¹ã€åã^ã€ç›´â€ç­‰å½¢çš„æ¦‚念ã€?/p>

  公元å‰?100òq?/font>åQŒä¸­å›½å¤æœå‡ºçŽ°è±¡å¾å‰¼œ¥çš„æ²›_›¾‹z›ä¹¦¾U‰|¨ªå›¾ï¼Œå³äؓ“ä¹å®«ç®—â€ï¼Œ˜q™è¢«è®¤äØ“æ˜¯çŽ°ä»£â€œç»„åˆæ•°å­¦â€æœ€å¤è€çš„å‘现ã€?/p>

  ¾ŸŽçƒ¦ä¸è¾¾¾c³äºšäººå·²æœ‰äº†ä¹˜æ³•表,其中使用ç€å…­å˜q›ä½åˆ¶çš„½Ž—法ã€?/p>

  公元å‰?900~å‰1600åQŒå¤åŸƒåŠçš„纸è‰ä¹¦ä¸Šå‡ºçŽ°æ•°å­¦è®°è½½ï¼Œå·²æœ‰åŸÞZºŽå进制的记数法,ž®†ä¹˜æ³•ç®€åŒ–äØ“åŠ æ³•çš„ç®—æœ¯ã€åˆ†æ•°è®¡½Ž—æ³•ã€‚åÆˆå·²æœ‰ä¸‰è§’å½¢åŠåœ†çš„é¢ç§¯ã€æ­£æ–¹è§’锥体ã€é”¥åîC½“¿U¯çš„åº¦é‡æ³•ç­‰ã€?/p>

  公元å‰?950òq?/font>åQŒå·´æ¯”äëuäºø™ƒ½è§£äºŒä¸ªå˜æ•°çš„一‹Æ¡å’ŒäºŒæ¬¡æ–¹ç¨‹åQŒå·²¾l知é““勾股定ç†â€ã€?/p>

  公元å‰?400òq?/font>åQŒä¸­å›½æ®·ä»£ç”²éª¨æ–‡åœè¾žè®°å½•已有å进制记敎ͼŒæœ€å¤§æ•°å­—是三万ã€?/p>

  公元å‰?050òq?/font>åQŒåœ¨ä¸­å›½çš„è¥¿å‘¨æ—¶æœŸï¼Œâ€œä¹æ•°â€æˆä¸ºâ€œå›½å­â€çš„必修评¡¨‹ä¹‹ä¸€ã€?/p>

  公元å‰å…­ä¸–纪åQŒå¤å¸Œè…Šçš?a target="contents">æ³°å‹’æ–?/font>å‘展了刽{‰å‡ ä½•å­¦åQŒå¼€å§‹è¯æ˜Žå‡ ä½•命题ã€?/p>

  å¤å¸Œè…?a target="contents">毕达哥拉æ–?/font>å­¦æ´¾è®¤äØ“æ•°æ˜¯ä¸‡ç‰©çš„æœ¬åŽŸï¼Œå®‡å®™çš„ç»„¾l‡æ˜¯æ•°åŠå…¶å…³¾pÈš„å’Œè°ä½“ç³»ã€‚è¯æ˜Žäº†å‹¾è‚¡å®šç†åQŒå‘çŽîCº†æ— ç†æ•ŽÍ¼Œå¼•è“v了所谓第一‹Æ¡æ•°å­¦å±æœºã€?/p>

  å°åº¦äººæ±‚å‡?img height="19" src="http://czsz.qqedu.net/whr/UploadFiles/200551583244734.gif" width="21" align="middle" border="0">=1.4142156ã€?/p>

  公元å‰?62òq´å·¦å?/font>åQŒæ„大利的埃利亚学派的èŠè¯ºç­‰äººæŒ‡å‡ÞZº†åœ¨è¿åŠ¨å’Œå˜åŒ–中的å„ç§çŸ›ç›¾åQŒæå‡ÞZº†é£žçŸ¢ä¸åЍ½{‰æœ‰å…Ïx—¶é—´ã€ç©ºé—´å’Œæ•°çš„èŠè¯ºæ‚–ç†(å¤å¸Œè…?å·´é—¨ž®¼å¯dã€èŠè¯ºç­‰)ã€?/p>

  公元å‰äº”世纪åQŒå¤å¸Œè…Šä¸˜æ–¯çš„希波克拉底研究了以直线åŠåœ†å¼§åŞ所围æˆçš„åã^é¢å›¾å½¢çš„é¢ç§¯åQŒæŒ‡å‡ºç›¸ä¼¼å¼“形的é¢ç§¯ä¸Žå…¶å¼¦çš„òqÏx–¹æˆæ­£æ¯”ã€‚å¼€å§‹æŠŠå‡ ä½•å‘½é¢˜æŒ‰ç§‘å­¦æ–¹å¼æŽ’åˆ—ã€?/p>

  公元å‰å››ä¸–纪åQŒå¤å¸Œè…Šçš„æ¬§å¤šå…‹æ–¯æŠŠæ¯”例论推òq¿åˆ°ä¸å¯é€šçº¦é‡ä¸ŠåQŒå‘çŽîCº†â€œç©·ç«­æ³•â€ã€‚开始在数学上作å‡ÞZ»¥å…¬ç†ä¸ÞZ¾æ®çš„æ¼”绎整ç†ã€?/p>

  å¤å¸Œè…Šå¯dè°Ÿå…‹åˆ©ç‰¹å­¦æ´¾ç”¨â€œåŽŸå­æ³•â€è®¡½Ž—颿U¯å’Œä½“积åQŒä¸€ä¸ªçº¿ŒDüc€ä¸€ä¸ªé¢¿U¯æˆ–一个体¿U¯è¢«è®¾æƒ³ä¸ºç”±å¾ˆå¤šä¸å¯åˆ†çš„“原å­â€æ‰€¾l„æˆã€‚æå‡ºåœ†é”¥æ›²¾U¿ï¼Œå¾—到了三‹Æ¡æ–¹½E‹å¼çš„æœ€å¤è€çš„解法ã€?/p>

  å¤å¸Œè…Šçš„亚里士多å¾ïL­‰å»ºç«‹äº†äºšé‡Œå£«å¤šå¯d学派åQŒå¼€å§‹å¯¹æ•°å­¦ã€åŠ¨ç‰©å­¦½{‰è¿›è¡Œäº†¾l¼åˆçš„ç ”½I¶ã€?/p>

  公元å‰?00òq?/font>åQŒä¸­å›½æˆ˜å›½æ—¶æœŸçš„《墨¾l》中记è²äº†ä¸€äº›å‡ ä½•学的义ç†ã€?/p>

  公元å‰?80òq?/font>åQŒå¤å¸Œè…ŠæŸæ‹‰å›‘Ö­¦‹z¾æŒ‡å‡ºæ•°å­¦å¯¹è®­ç»ƒæ€ç»´çš„作用,研究正多é¢ä½“ã€ä¸å¯å…¬åº¦é‡ã€?/p>

  公元å‰?50òq?/font>åQŒå¤å¸Œè…Šæ¢…纳克莫斯å‘çŽîC¸‰¿U圆锥曲¾U¿ï¼Œòq¶ç”¨ä»¥è§£ç«‹æ–¹ä½“问题。å¤å¸Œè…Šè‰²è¯º¿U‘拉底开始编写几何学的历åŒÓ€‚å¤å¸Œè…Šçš„å¡žé©¬åŠ›è¾¾æ–¯å¼€å§‹ä¸–ç•Œç®€å•æ–¹½E‹ç»„

  公元å‰?35òq?/font>åQŒå¤å¸Œè…Šçš„æ¬§å¾·å§†æ–¯å¼€å§‹ç¼–写数学å²ã€?/p>

  公元å‰ä¸‰ä¸–纪åQŒå¤å¸Œè…Š‹Æ§å‡ é‡Œå¾—çš„ã€?a target="contents">几何学原æœ?/font>》å三å·å‘表åQŒæŠŠå‰äh和他本ähçš„å‘现系¾lŸåŒ–åQŒç¡®ç«‹å‡ ä½•学的逻辑体系åQŒäؓ世界上最早的公ç†åŒ–数学著作ã€?/p>

  公元å‰ä¸‰ä¸–纪åQŒå¤å¸Œè…Šçš?a target="contents">阿基¾c›_¯d研究了曲¾U¿å›¾å½¢å’Œæ›²é¢ä½“所围æˆçš„颿U¯ã€ä½“¿U¯ï¼›ç ”究了抛物é¢ã€åŒæ›²é¢ã€æ¤­åœ†é¢åQŒè®¨è®ÞZº†åœ†æŸ±ã€åœ†é”¥å’ŒåŠçƒä¹‹å…³¾p»ï¼Œ˜q˜ç ”½I¶äº†èžºçº¿ã€?/p>

  战国时期的中国,½{¹ç®—æˆäؓ当时的主è¦è®¡½Ž—方法;出现《庄å­ã€‹ã€ã€Šè€ƒå·¥è®°ã€‹è®°è½½ä¸­çš„æžé™æ¦‚å¿üc€åˆ†æ•°è¿½Ž—法ã€ç‰¹ŒDŠè§’度概念åŠå¯¹ç­–论的例è¯ã€?/p>

  公元å‰?30òq?/font>åQŒå¤å¸Œè…Šçš„埃拉托色尼æå‡ºç´ æ•°æ¦‚念åQŒåÆˆå‘æ˜Žäº†å¯»æ‰„¡´ æ•°çš„½{›æ³•ã€?/p>

  公元å‰ä¸‰è‡›_‰äºŒä¸–¾U?/font>åQŒå¤å¸Œè…Šçš„阿波罗ž®¼å‘表了八本《圆锥曲¾U¿å­¦ã€‹ï¼Œ˜q™æ˜¯æœ€æ—©å…³äºŽæ¤­åœ†ã€æŠ›ç‰©çº¿å’ŒåŒæ›²çº¿çš„论著ã€?/p>

  公元å‰?70òq?/font>åQŒæ¹–北出现竹½Ž€½Ž—书《算æ•îC¹¦ã€‹ã€?/p>

  公元å‰?50òq?/font>åQŒå¤å¸Œè…Šçš„å¸Œå¸•æ°æ–¯å¼€å§‹ç ”½I¶çƒé¢ä¸‰è§’,奠定三角术的基础ã€?/p>

  ¾U¦å…¬å…ƒå‰ä¸€ä¸–纪åQŒä¸­å›½çš„《周髀½Ž—ç»ã€‹å‘表。其中阘qîCº†â€œç›–天说â€å’Œå››åˆ†åŽ†æ³•åQŒä‹É用分数算法和开æ–ÒŽ³•½{‰ã€?/p>

 

公元元年 ~ 公元åQ‘ï¼åQï¼òq?/font>

  公元50ï½?00òq?/font>åQŒç‘ô西汉张è‹ã€è€¿å¯¿æ˜Œåˆ è¡¥æ ¡è®¢ä¹‹åŽï¼Œä¸œæ±‰æ—¶çº‚¾~–æˆã€Šä¹ç« ç®—术ã€?/font>åQŒè¿™æ˜¯ä¸­å›½æœ€æ—©çš„æ•°å­¦ä¸“è‘—åQŒæ”¶é›†äº†246个问题的解法ã€?/p>

  公元75òq?/font>åQŒå¤å¸Œè…Šçš„æ“v伦研½I‰™¢¿U¯ã€ä½“¿U¯è®¡½Ž—方法ã€å¼€æ–ÒŽ³•åQŒæå‡ºæ“v伦公å¼ã€?/p>

  一世纪左å³åQŒå¤å¸Œè…Šçš„æ¢…内劳å‘表《çƒå­¦ã€‹ï¼Œå…¶ä¸­åŒ…括çƒçš„几何学,òq‰™™„有çƒé¢ä¸‰è§’åŞ的讨论ã€?/p>

  å¤å¸Œè…Šçš„希隆写了关于几何学的ã€è®¡½Ž—的和力学科目的癄¡§‘全书。在其中的《度é‡è®ºã€‹ä¸­åQŒä»¥å‡ ä½•å½¢å¼æŽ¨ç®—å‡ÞZ¸‰è§’åÅžé¢ç§¯çš„“希隆公å¼â€ã€?/p>

  100òq´å·¦å?/font>åQŒå¤å¸Œè…Šçš„å°¼å¯‡é©¬å…‹å†™äº†ã€Šç®—æœ¯å¼•è®ºã€‹ä¸€ä¹¦ï¼Œæ­¤åŽ½Ž—æœ¯å¼€å§‹æˆä¸ºç‹¬ç«‹å­¦¿U‘ã€?/p>

  150òq´å·¦å?/font>åQŒå¤å¸Œè…Šçš„æ‰˜å‹’密著《数学汇¾~–ã€‹ï¼Œæ±‚å‡ºåœ†å‘¨çŽ‡äØ“3.14166åQŒåƈæå‡ºé€è§†æŠ•媄法与çƒé¢ä¸Šç»¾U¬åº¦çš„讨论,˜q™æ˜¯å¤ä»£å标的示例ã€?/p>

  三世¾Uªæ—¶åQŒå¤å¸Œè…Šçš„丢番都写æˆä»£æ•°è‘—作《算术》共å三åøP¼Œå…¶ä¸­å…­å·ä¿ç•™è‡³ä»ŠåQŒè§£å‡ÞZº†è®¸å¤šå®šå’Œä¸å®šæ–¹ç¨‹å¼ã€?/p>

  三世¾Uªè‡³å››ä¸–¾U?/font>åQŒé­æ™‹æ—¶æœŸï¼Œä¸­å›½çš„è™n爽在《勾股圆方图注》中列出了关于直角三角åŞ三边之间关系的命题共21æ¡ã€?/p>

ã€€ã€€ä¸­å›½çš„åˆ˜å¾½å‘æ˜Žâ€œå‰²åœ†æœ¯â€ï¼Œòq¶ç®—得圆周率ä¸?.1416åQ›è‘—《æ“v岛算¾lã€‹ï¼Œè®ø™¿°äº†æœ‰å…Ïxµ‹é‡å’Œè®¡ç®—‹¹·å²›çš„è·¼›…R€é«˜åº¦çš„æ–ÒŽ³•ã€?/p>

  四世¾Uªæ—¶åQŒå¤å¸Œè…Šå¸•普斯的几何学著作《数学集æˆã€‹é—®ä¸–,˜q™æ˜¯å¤å¸Œè…Šæ•°å­¦ç ”½I¶çš„æ‰‹å†Œã€?/p>

  ¾U?63òq?/font>åQŒä¸­å›½çš„¼œ–冲之算å‡ÞZº†åœ†å‘¨çŽ‡çš„˜q‘似值到½W¬ä¸ƒä½å°æ•ŽÍ¼Œ˜q™æ¯”西方早了一åƒå¤šòq´ã€?/p>

  466òqß_½ž485òq?/font>åQŒä¸­å›½ä¸‰å›½æ—¶æœŸçš„ã€Šå¼ é‚±å¾½Ž—ç»ã€‹æˆä¹¦ã€?/p>

  五世¾U?/font>åQŒå°åº¦çš„阿耶æ‡L多著书研½I¶æ•°å­¦å’Œå¤©æ–‡å­¦ï¼Œå…¶ä¸­è®¨è®ºäº†ä¸€‹Æ¡ä¸å®šæ–¹½E‹å¼çš„解法ã€åº¦é‡æœ¯å’Œä¸‰è§’å­¦½{‰ï¼Œòq¶ä½œæ­£åëu表ã€?/p>

  550òq?/font>åQŒä¸­å›½å—北æœçš„甄鸾撰《五è‰ç®—¾l》ã€ã€Šäº”¾lç®—¾l》ã€ã€Šç®—术记é—》ã€?/p>

  六世¾Uªï¼Œä¸­å›½å…­æœæ—Óž¼Œä¸­å›½çš„祖(æ—¥æ’)æå‡º¼œ–æ°å®šå¾‹åQšè‹¥äºŒç«‹ä½“等高处的截é¢ç§¯ç›¸ç­‰åQŒåˆ™äºŒè€…体¿U¯ç›¸½{‰ã€‚西方直到å七世¾Uªæ‰å‘现åŒä¸€å®šå¾‹åQŒç§°ä¸ºå¡ç“¦åˆ—利原ç†ã€?/p>

  隋代《皇æžåŽ†æ³•ã€‹å†…åQŒå·²ç”¨â€œå†…æ’æ³•â€æ¥è®¡ç®—æ—¥ã€æœˆçš„æ­£¼‹®ä½¾|?中国 刘焯)ã€?/p>

  620òq?/font>åQŒä¸­å›½å”æœçš„王å­é€šè‘—《辑å¤ç®—¾l》,解决了大规模土方工程中æå‡ºçš„三次方程求正根的问题ã€?/p>

  628òq?/font>åQŒå°åº¦çš„婆罗摩笈多研½I¶äº†å®šæ–¹½E‹å’Œä¸å®šæ–¹ç¨‹ã€å››è¾¹åÅžã€åœ†å‘¨çŽ‡ã€æ¢¯å½¢å’Œåºåˆ—。给å‡ÞZº†æ–¹ç¨‹ax+by=c(aåQŒbåQŒc是整æ•?的第一个一般解ã€?/p>

  656òq?/font>åQŒä¸­å›½å”ä»£æŽæ·³é£Ž½{‰å¥‰æ—¨è‘—《“å部算¾lâ€æ³¨é‡Šã€‹ï¼Œä½œäؓ国å­ç›‘算学馆的课本。“å部算¾lâ€æŒ‡åQšã€Šå‘¨é«€ã€‹ã€Šä¹ç« ç®—术》《æ“v岛算¾lã€‹ã€Šå¼ é‚±å¾½Ž—ç»ã€‹ã€Šäº”¾l算术》等ã€?/p>

  727òq?/font>åQŒä¸­å›½å”æœå¼€å…ƒå¹´é—ß_¼Œåƒ§ä¸€è¡Œç¼–æˆã€Šå¤§è¡åŽ†ã€‹ï¼Œå»ºç«‹äº†ä¸½{‰è·çš„内æ’å…¬å¼ã€?/p>

  820òq?/font>åQŒé˜¿æ‹‰ä¼¯çš„阿ž®”¯‚Š±åˆºå­æ¨¡å‘表了《å°åº¦è®¡æ•°ç®—法》,使西‹Æ§ç†Ÿæ‚‰äº†åè¿›ä½åˆ¶ã€?/p>

  850òq?/font>åQŒå°åº¦çš„æ‘©ç‚毗罗æå‡ºå²­çš„˜q算法则ã€?/p>

  ¾U?20òq?/font>åQŒé˜¿æ‹‰ä¼¯çš„阿ž®”·巴塔尼æå‡ºæ­£åˆ‡å’Œä½™åˆ‡æ¦‚念,造出ä»?ºåˆ?0º的余切表åQŒç”¨sine标记正åëuåQŒè¯æ˜Žäº†æ­£åëu定ç†ã€?/font>

 

公元åQ‘ï¼åQï¼òq´ã€€ï½žã€€åQ‘ï¼—åQï¼òq?/font>

  1000ï½?019òq?/font>åQŒä¸­å›½åŒ—å®‹çš„åˆ˜ç›Šè‘—ã€Šè®®å¤æ ¹æºã€‹ï¼Œæå‡ºäº†â€œæ­£è´Ÿå¼€æ–ÒŽœ¯â€ã€?/p>

  1050òq?/font>åQŒä¸­å›½å®‹æœçš„è´‘Ö®ªåœ¨ã€Šé»„å¸ä¹ç« ç®—术细è‰ã€‹ä¸­åQŒåˆ›é€ äº†å¼€ä»ÀL„高次òq‚的“增乘开æ–ÒŽ³•â€ï¼Œòq¶åˆ—å‡ÞZº†äºŒé¡¹å¼å®šç†ç³»æ•°è¡¨åQŒè¿™æ˜¯çŽ°ä»£â€œç»„åˆæ•°å­¦â€çš„æ—©æœŸå‘现。åŽäººæ‰€¿U°çš„“æ¨è¾‰ä¸‰è§’â€å³æŒ‡æ­¤æ³•ã€?/p>

  1086ï½?093òq?/font>åQŒä¸­å›½å®‹æœçš„æ²ˆæ‹¬åœ¨ã€Šæ¢¦æºªç¬”谈》中æå‡ºâ€œéš™¿U¯æœ¯â€å’Œâ€œä¼šåœ†æœ¯â€ï¼Œå¼€å§‹é«˜é˜¶ç­‰å·®çñ”数的研究ã€?/p>

  1079òq?/font>åQŒé˜¿æ‹‰ä¼¯çš„å¡ç‰™å§†å®Œæˆäº†ä¸€éƒ¨ç³»¾lŸç ”½I¶ä¸‰‹Æ¡æ–¹½E‹çš„书《代数学》,用圆锥曲¾U¿è§£ä¸‰æ¬¡æ–¹ç¨‹ã€?/p>

  å一世纪åQŒé˜¿æ‹‰ä¼¯çš„阿ž®”·塞®”希½W¬ä¸€‹Æ¡è§£å‡ÞZº†äºŒæ¬¡æ–¹ç¨‹çš„æ ¹ã€?/p>

  å一世纪åQŒåŸƒåŠçš„阿尔·‹¹¯‚µ›å§†è§£å†³äº†â€œæ“v赛姆â€é—®é¢˜ï¼ŒåŒ™¦åœ¨åœ†çš„åã^é¢ä¸Šä¸¤ç‚¹ä½œä¸¤æ¡çº¿ç›æ€º¤äºŽåœ†å‘¨ä¸Šä¸€ç‚¹ï¼Œòq¶ä¸Žåœ¨è¯¥ç‚¹çš„æ³•线æˆç­‰è§’ã€?/p>

  å二世纪åQŒå°åº¦çš„æ‹œæ–¯˜q¦ç½—著《立刺瓦æã€‹ä¸€ä¹¦ï¼Œ˜q™æ˜¯ä¸œæ–¹½Ž—术和计½Ž—æ–¹é¢çš„é‡è¦è‘—作ã€?/p>

  1202òq?/font>åQŒæ„大利的裴波那契å‘表《计½Ž—之书》,把å°åº¦â€”阿拉伯记数法介¾l到西方ã€?/p>

  1220òq?/font>åQŒæ„大利的裴波那契å‘表《几何学实习》一书,介ç»äº†è®¸å¤šé˜¿æ‹‰ä¼¯èµ„料中没有的½CÞZ¾‹ã€?/p>

  1247òq?/font>åQŒä¸­å›½å®‹æœçš„¿U¦ä¹éŸ¶è‘—《数书ä¹ç« ã€‹å…±åå…«åøP¼ŒæŽ¨å¹¿äº†â€œå¢žä¹˜å¼€æ–ÒŽ³•â€ã€‚书中æå‡ºçš„è”立一‹Æ¡åŒä½™å¼çš„解法,比西æ–ÒŽ—©äº”百七å余年ã€?/p>

  1248òq?/font>åQŒä¸­å›½å®‹æœçš„æŽæ²»è‘—ã€Šæµ‹åœ†æ“v镜》å二å·åQŒè¿™æ˜¯ç¬¬ä¸€éƒ¨ç³»¾lŸè®º˜q°â€œå¤©å…ƒæœ¯â€çš„著作ã€?/p>

  1261òq?/font>åQŒä¸­å›½å®‹æœçš„æ¨è¾‰è‘—ã€Šè¯¦è§£ä¹ç« ç®—法》,用“垛¿U¯æœ¯â€æ±‚出几¾c»é«˜é˜¶ç­‰å·®çñ”æ•îC¹‹å’Œã€?/p>

  1274òq?/font>åQŒä¸­å›½å®‹æœçš„æ¨è¾‰å‘è¡¨ã€Šä¹˜é™¤é€šå˜æœ¬æœ«ã€‹ï¼Œå™è¿°â€œä¹å½’â€æ·æ³•,介ç»äº†ç­¹½Ž—乘除的å„秘q算法ã€?/p>

  1280òq?/font>åQŒå…ƒæœã€ŠæŽˆæ—¶åŽ†ã€‹ç”¨æ‹›å·®æ³•ç¼–åˆ¶æ—¥æœˆçš„æ–¹ä½è¡?中国 王æ‚ã€éƒ­å®ˆæ•¬½{?ã€?/p>

  å四世纪中å¶å‰?/font>åQŒä¸­å›½å¼€å§‹åº”ç”¨ç ½Ž—ç›˜åQŒåÆˆé€æ¸ä»£æ›¿äº†ç­¹½Ž—ã€?/p>

  1303òq?/font>åQŒä¸­å›½å…ƒæœçš„æœ×ƒ¸–æ°è‘—《四元玉鉴》三åøP¼ŒæŠŠâ€œå¤©å…ƒæœ¯â€æŽ¨òq¿äؓ“四元术â€ã€?/p>

  1464òq?/font>åQŒå¯d国的¾U¦ÂïL±³å‹’在《论å„ç§ä¸‰è§’å½¢ã€?1533òq´å‡ºç‰?中,¾pÈ»Ÿåœ°æ€È»“了三角学ã€?/p>

  1489òq?/font>åQŒå¯d国的™ìå¯d曼用â€?â€ã€â€?â€è¡¨½Cºæ­£è´Ÿã€?/p>

  1494òq?/font>åQŒæ„大利的帕奇欧里å‘表《算术集æˆã€‹ï¼Œå映了当时所知é“的关于算术ã€ä»£æ•°å’Œä¸‰è§’学的知识ã€?/p>

  1514òq?/font>åQŒè·å…°çš„è´ÞZ¼Šå…‹ç”¨â€?â€ã€â€?â€ä½œä¸ºåŠ å‡è¿½Ž—çš„½W¦å·ã€?/p>

  1535òq?/font>åQŒæ„大利的塔塔利亚å‘çŽîC¸‰‹Æ¡æ–¹½E‹çš„解法ã€?/p>

  1540òq?/font>åQŒè‹±å›½çš„é›ïL§‘å¾ïL”¨â€?â€è¡¨½Cºç›¸½{‰ã€?/p>

  1545òq?/font>åQŒæ„大利的塞®”达诺ã€è´¹ž®”诺在《大法》中å‘表了求三次方程一般代数解的公å¼ã€?/p>

  1550ï½?572òq?/font>åQŒæ„大利的邦别利出版《代数学》,其中引入了虚敎ͼŒå®Œå…¨è§£å†³äº†ä¸‰‹Æ¡æ–¹½E‹çš„代数解问题ã€?/p>

  1585òq?/font>åQŒè·å…°çš„æ–¯è’‚æ–‡æå‡ºåˆ†æ•°æŒ‡æ•°æ¦‚念与½W¦å·åQ›ç³»¾lŸå¯¼å…¥äº†å进制分æ•îC¸Žåè¿›åˆ¶å°æ•°çš„æ„ä¹‰ã€è®¡½Ž—法åŠè¡¨½Cºæ³•ã€?/p>

  1591òq´å·¦å?/font>åQŒå¯d国的韦达在《美妙的代数》中首次使用字æ¯è¡¨ç¤ºæ•°å­—¾pÀL•°çš„一般符åøP¼ŒæŽ¨è¿›äº†ä»£æ•°é—®é¢˜çš„一般讨论ã€?/p>

  1596òq?/font>åQŒå¯d国的雯‚’‚塿–¯ä»Žç›´è§’三角åŞ的边角关¾pÖM¸Šå®šä¹‰äº?个三角函数ã€?/p>

  1596ï½?613òq?/font>åQŒå¯d国的奥脱ã€ç𮿿–¯åº“斯完æˆäº†å…­ä¸ªä¸‰è§’函数的æ¯é—´éš?0¿U’çš„å五ä½å°æ•°è¡¨ã€?/p>

  1614òq?/font>åQŒè‹±å›½çš„è€æ™®ž®”制定了å¯ÒŽ•°åQŒåšå‡ºç¬¬ä¸€å¼ å¯¹æ•°è¡¨åQŒåªåšå‡ºåœ†åŞ计算ž®ºã€è®¡½Ž—棒ã€?/p>

  1615òq?/font>åQŒå¯d国的开åœå‹’å‘表《酒桶的立体几何学》,研究了圆锥曲¾U¿æ—‹è½¬ä½“的体¿U¯ã€?/p>

  1635òq?/font>åQŒæ„大利的å¡ç“¦åˆ—利å‘表《ä¸å¯åˆ†˜qžç®‹é‡çš„几何学》,书中é¿å…æ— ç©·ž®é‡åQŒç”¨ä¸å¯åˆ†é‡åˆ¶å®šäº†ä¸€¿U简å•åÅžå¼çš„微积分ã€?/p>

  1637òq?/font>åQŒæ³•国的½W›å¡ž®?/font>出版《几何学》,æå‡ºäº†è§£æžå‡ ä½•,把å˜é‡å¼•˜q›æ•°å­¦ï¼Œæˆäؓ“数学中的è{折点â€ã€?/p>

  1638òq?/font>åQŒæ³•国的费尔玛开始用微分法求æžå¤§ã€æžž®é—®é¢˜ã€?/p>

  æ„大利的伽里略å‘表《关于两¿Uæ–°¿U‘å­¦çš„æ•°å­¦è¯æ˜Žçš„è®ø™¯´ã€‹ï¼Œç ”ç©¶è·ç¦»ã€é€Ÿåº¦å’ŒåŠ é€Ÿåº¦ä¹‹é—´çš„å…³¾p»ï¼Œæå‡ºäº†æ— ½I·é›†åˆçš„æ¦‚念åQŒè¿™æœ¬ä¹¦è¢«è®¤ä¸ºæ˜¯ä¼½é‡Œç•¥é‡è¦çš„¿U‘å­¦æˆå°±ã€?/p>

  1639òq?/font>åQŒæ³•国的˜qªæ²™æ ¼å‘表了《ä¼å›„¡ ”½I¶åœ†é”¥å’Œòq³é¢çš„相交所å‘ç”Ÿçš„äº‹çš„è‰æ¡ˆã€‹ï¼Œ˜q™æ˜¯˜q‘世ž®„媄几何学的早期工作ã€?/p>

  1641òq?/font>åQŒæ³•国的帕斯å¡å‘现关于圆锥内接六边åŞ的“帕斯å¡å®šç†â€ã€?/p>

  1649òq?/font>åQŒæ³•国的帕斯å¡åˆ¶æˆå¸•æ–¯å¡è®¡ç®—器,它是˜q‘代计算机的先驱ã€?/p>

  1654òq?/font>åQŒæ³•国的帕斯å¡ã€è´¹ž®”玛研究了概率论的基¼‹€ã€?/p>

  1655òq?/font>åQŒè‹±å›½çš„瓦里斯出版《无½IïL®—术》一书,½W¬ä¸€‹Æ¡æŠŠä»£æ•°å­¦æ‰©å±•到分æžå­¦ã€?/p>

  1657òq?/font>åQŒè·å…°çš„æƒ æ›´æ–¯å‘表了关于概率论的早期论文《论æœÞZ¼šæ¸¸æˆçš„æ¼”½Ž—》ã€?/p>

  1658òq?/font>åQŒæ³•国的帕斯å¡å‡ºç‰ˆã€Šæ‘†¾U‰K€šè®ºã€‹ï¼Œå¯¹â€œæ‘†¾UŽì€è¿›è¡Œäº†å……分的研½I¶ã€?/p>

  1665ï½?676òq?/font>åQ?a target="contents">牛顿(1665ï½?666òq?先于莱布ž®ÆDŒ¨(1673ï½?676òq?制定了微¿U¯åˆ†åQŒèŽ±å¸ƒå°¼èŒ?1684ï½?686òq?早于牛顿(1704ï½?736òq?å‘表了微¿U¯åˆ†ã€?/p>

  1669òq?/font>åQŒè‹±å›½çš„牛顿ã€é›·å¤«é€Šå‘明解éžçº¿æ€§æ–¹½E‹çš„牛顿—雷夫逊方法ã€?/p>

  1670òq?/font>åQŒæ³•国的费尔玛æå‡ºâ€œè´¹ž®”玛大定ç†â€ã€?/p>

  1673òq?/font>åQŒè·å…°çš„æƒ æ›´æ–¯å‘表了《摆动的旉™’Ÿã€‹ï¼Œå…¶ä¸­ç ”究了åã^颿›²¾U¿çš„æ¸å±ˆ¾U¿å’Œæ¸äŽ×¾UÑ€?/p>

  1684òq?/font>åQŒå¯d国的莱布ž®ÆDŒ¨å‘表了关于微分法的著作《关于æžå¤§æžž®ä»¥åŠåˆ‡¾U¿çš„æ–°æ–¹æ³•》ã€?/p>

  1686òq?/font>åQŒå¯d国的莱布ž®ÆDŒ¨å‘表了关于积分法的著作ã€?/p>

  1691òq?/font>åQŒç‘žå£«çš„¾U¦Â¯‚´åŠªåˆ©å‡ºç‰ˆã€Šå¾®åˆ†å­¦åˆæ­¥ã€‹ï¼Œ˜q™ä¿ƒ˜q›äº†å¾®ç§¯åˆ†åœ¨ç‰©ç†å­¦å’ŒåŠ›å­¦ä¸Šçš„åº”ç”¨åŠç ”½I¶ã€?/p>

  1696òq?/font>åQŒæ³•国的‹z›æ¯”辑֑明求ä¸å®šå¼æžé™çš„“洛比达法则â€ã€?/p>

  1697òq?/font>åQŒç‘žå£«çš„¾U¦Â¯‚´åŠªåˆ©è§£å†³äº†ä¸€äº›å˜åˆ†é—®é¢˜ï¼Œå‘现最速下é™çº¿å’Œæµ‹åœ°çº¿ã€?/p>

 

公元åQ‘ï¼—åQ1 ~ åQ‘8åQï¼òq?/font>

  1704òq?/font>åQŒè‹±å›½çš„牛顿å‘表《三‹Æ¡æ›²¾U¿æžšä¸¾ã€‹ã€Šåˆ©ç”¨æ— ½IïLñ”数求曲线的颿U¯å’Œé•¿åº¦ã€‹ã€Šæµæ•°æ³•》ã€?/p>

  1711òq?/font>åQŒè‹±å›½çš„牛顿å‘表《ä‹É用çñ”æ•°ã€æµæ•°ç­‰½{‰çš„分æžã€‹ã€?/p>

  1713òq?/font>åQŒç‘žå£«çš„雅¯‚´åŠªåˆ©å‡ºç‰ˆäº†æ¦‚çŽ‡è®ºçš„ç¬¬ä¸€æœ¬è‘—ä½œã€ŠçŒœåº¦æœ¯ã€‹ã€?/p>

  1715òq?/font>åQŒè‹±å›½çš„布Âäh³°å‹’å‘è¡¨ã€Šå¢žé‡æ–¹æ³•åŠå…¶ä»–》ã€?/p>

  1731òq?/font>åQŒæ³•国的克雷‹z›å‡ºç‰ˆã€Šå…³äºŽåŒé‡æ›²çŽ‡çš„æ›²çº¿çš„ç ”½I¶ã€‹ï¼Œ˜q™æ˜¯ç ”ç©¶½Iºé—´è§£æžå‡ ä½•和微分几何的最åˆå°è¯•ã€?/p>

  1733òq?/font>åQŒè‹±å›½çš„德·勒哈佛ž®”å‘çŽ°æ­£æ€æ¦‚率曲¾UÑ€?/p>

  1734òq?/font>åQŒè‹±å›½çš„è´å…‹èޱå‘表《分æžå­¦è€…》,副标题是《致ä¸ä¿¡¼œžçš„æ•°å­¦å®¶ã€‹ï¼Œæ”Õd‡»ç‰›é¡¿çš„ã€Šæµæ•°æ³•》,引è“væ‰€è°“ç¬¬äºŒæ¬¡æ•°å­¦å±æœºã€?/p>

  1736òq?/font>åQŒè‹±å›½çš„牛顿å‘è¡¨ã€Šæµæ•°æ³•和无½IïLñ”数》ã€?/p>

  1736òq?/font>åQŒç‘žå£«çš„‹Æ§æ‹‰å‡ºç‰ˆã€ŠåŠ›å­¦ã€æˆ–è§£æžåœ°å™˜q°è¿åŠ¨çš„ç†è®ºã€‹ï¼Œ˜q™æ˜¯ç”¨åˆ†æžæ–¹æ³•å‘展牛™å¿çš„质点动力学的½W¬ä¸€æœ¬è‘—作ã€?/p>

  1742òq?/font>åQŒè‹±å›½çš„麦克åŠÏxž—引进了函数的òq‚çñ”数展开法ã€?/p>

  1744òq?/font>åQŒç‘žå£«çš„‹Æ§æ‹‰å¯¼å‡ºäº†å˜åˆ†æ³•的欧拉方½E‹ï¼Œå‘现æŸäº›æžå°æ›²é¢ã€?/p>

  1747òq?/font>åQŒæ³•国的达朗è´å°”½{‰ç”±å¼¦æŒ¯åŠ¨çš„ç ”ç©¶è€Œå¼€åˆ›å微分方程论ã€?/p>

  1748òq?/font>åQŒç‘žå£«çš„‹Æ§æ‹‰å‡ºç‰ˆäº†ç³»¾lŸç ”½I¶åˆ†æžæ•°å­¦çš„《无½I·åˆ†æžæ¦‚è¦ã€‹ï¼Œ˜q™æ˜¯‹Æ§æ‹‰çš„主è¦è‘—作之一ã€?/p>

  1755ï½?774òq?/font>åQŒç‘žå£«çš„‹Æ§æ‹‰å‡ºç‰ˆäº†ã€Šå¾®åˆ†å­¦ã€‹å’Œã€Šç§¯åˆ†å­¦ã€‹ä¸‰å—÷€‚书中包括微分方½E‹è®ºå’Œä¸€äº›ç‰¹ŒDŠçš„函数ã€?/p>

  1760ï½?761òq?/font>åQŒæ³•国的拉格朗日¾pÈ»Ÿåœ°ç ”½I¶äº†å˜åˆ†æ³•åŠå…¶åœ¨åŠ›å­¦ä¸Šçš„åº”ç”¨ã€?/p>

  1767òq?/font>åQŒæ³•国的拉格朗日å‘现分离代数方程实根的方法和求其˜q‘似值的æ–ÒŽ³•ã€?/p>

  1770ï½?771òq?/font>åQŒæ³•国的拉格朗日把置æ¢ç¾¤ç”¨äºŽä»£æ•°æ–¹ç¨‹å¼æ±‚解,˜q™æ˜¯¾Ÿ¤è®ºçš„开始ã€?/p>

  1772òq?/font>åQŒæ³•国的拉格朗日¾l™å‡ºä¸‰ä½“问题最åˆçš„特解ã€?/p>

  1788òq?/font>åQŒæ³•国的拉格朗日出版了《解æžåŠ›å­¦ã€‹ï¼ŒæŠŠæ–°å‘å±•çš„è§£æžæ³•应用于质ç‚V€åˆšä½“力学ã€?/p>

  1794òq?/font>åQŒæ³•国的勒让德出版æµä¼ å¾ˆòq¿çš„åˆç­‰å‡ ä½•学课本《几何学概è¦ã€‹ã€?/p>

  德国çš?a target="contents">高斯从研½I¶æµ‹é‡è¯¯å·®ï¼Œæå‡ºæœ€ž®äºŒä¹˜æ³•åQŒäºŽ1809òq´å‘表ã€?/p>

  1797òq?/font>åQŒæ³•国的拉格朗日å‘表《解æžå‡½æ•°è®ºã€‹ï¼Œä¸ç”¨æžé™çš„æ¦‚念而用代数æ–ÒŽ³•建立微分学ã€?/p>

  1799òq?/font>åQŒæ³•国的蒙日创立ç”ÀL³•几何学,在工½E‹æŠ€æœ¯ä¸­åº”用颇多ã€?/p>

ã€€ã€€å¾·å›½çš„é«˜æ–¯è¯æ˜Žäº†ä»£æ•°å­¦çš„一个基本定ç†ï¼šå®žç³»æ•îC»£æ•°æ–¹½E‹å¿…有根ã€?/p>

 

公元åQ‘8åQï¼ã€€ï½žã€€åQ‘8åQ™ï¼™òq?/font>

  1801òq?/font>åQŒå¯d国的高斯出版《算术研½I¶ã€‹ï¼Œå¼€åˆ›è¿‘代数论ã€?/p>

  1809òq?/font>åQŒæ³•国的蒙日出版了微分几何学的第一本书《分æžåœ¨å‡ ä½•学上的应用》ã€?/p>

  1812òq?/font>åQŒæ³•å›½çš„æ‹‰æ™®æ‹‰æ–¯å‡ºç‰ˆã€Šåˆ†æžæ¦‚率论》一书,˜q™æ˜¯˜q‘代概率论的先驱ã€?/p>

  1816òq?/font>åQŒå¯d国的高斯å‘çŽ°éžæ¬§å‡ ä½•åQŒä½†æœªå‘表ã€?/p>

  1821òq?/font>åQŒæ³•å›½çš„æŸ¯è¥¿å‡ºç‰ˆã€Šåˆ†æžæ•™½E‹ã€‹ï¼Œç”¨æžé™ä¸¥æ ¼åœ°å®šä¹‰äº†å‡½æ•°çš„˜qžç®‹ã€å¯¼æ•°å’Œ¿U¯åˆ†åQŒç ”½I¶äº†æ— ç©·¾U§æ•°çš„æ”¶æ•›æ€§ç­‰ã€?/p>

  1822òq?/font>åQŒæ³•国的彭色列系¾lŸç ”½I¶äº†å‡ ä½•囑ÖÅžåœ¨æŠ•å½±å˜æ¢ä¸‹çš„ä¸å˜æ€§è´¨åQŒå¾ç«‹äº†ž®„媄几何学ã€?/p>

  法国的傅立å¶ç ”究了热传导问题åQŒå‘明用傅立å¶çñ”数求解å微分方程的边值问题,在ç†è®ºå’Œåº”用上都有é‡å¤§åª„å“ã€?/p>

  1824òq?/font>åQŒæŒªå¨çš„阿贞®”è¯æ˜Žç”¨æ ¹å¼æ±‚解五次方程的ä¸å¯èƒ½æ€§ã€?/p>

  1826òq?/font>åQŒæŒªå¨çš„阿贞®”å‘现连¾l­å‡½æ•°çš„¾U§æ•°ä¹‹å’Œòq‰™ž˜qžç®‹å‡½æ•°ã€?/p>

  俄国çš?a target="contents">¾|—巴切夫斯基和匈牙利的æ‡L¾U¦æ”¹å˜æ¬§å‡ é‡Œå¾—几何学中的òqŒ™¡Œå…¬ç†åQŒæå‡ºéž‹Æ§å‡ ä½•学的ç†è®ºã€?/p>

  1827ï½?829òq?/font>åQŒå¯då›½çš„é›…å¯æ¯”ã€æŒªå¨çš„阿贞®”和法国的勒阿å¯dž®”å…±åŒç¡®ç«‹äº†æ¤­åœ†¿U¯åˆ†ä¸Žæ¤­åœ†å‡½æ•°çš„ç†è®ºåQŒåœ¨ç‰©ç†ã€åŠ›å­¦ä¸­éƒ½æœ‰åº”ç”¨ã€?/p>

  1827òq?/font>åQŒå¯d国的高斯建立了微分几何中关于曲é¢çš„ç³»¾lŸç†è®ºã€?/p>

  德国的莫比乌斯出版《é‡å¿ƒæ¼”½Ž—》,½W¬ä¸€‹Æ¡å¼•˜q›é½‹Æ¡åæ ‡ã€?/p>

  1830òq?/font>åQŒæ·å…‹çš„æ³¢å°”查诺¾l™å‡ºä¸€ä¸ªè¿ž¾l­è€Œæ²¡æœ‰å¯¼æ•°çš„æ‰€è°““病æ€â€å‡½æ•°çš„例å­ã€?/p>

  法国çš?a target="contents">伽罗å?/font>在代数方½E‹å¯å¦ç”¨æ ¹å¼æ±‚解的研½I¶ä¸­å»ºç«‹¾Ÿ¤è®ºã€?/p>

  1831òq?/font>åQŒæ³•国的柯西å‘现解æžå‡½æ•°çš„幂¾U§æ•°æ”¶æ•›å®šç†ã€?/p>

  德国的高斯å¾ç«‹äº†å¤æ•°çš„代数学åQŒç”¨òq³é¢ä¸Šçš„ç‚ÒŽ¥è¡¨ç¤ºå¤æ•°åQŒç ´é™¤äº†å¤æ•°çš„神¿U˜æ€§ã€?/p>

  1835òq?/font>åQŒæ³•国的斯特姆æå‡ºç¡®å®šä»£æ•°æ–¹½E‹å¼å®žæ ¹ä½ç½®çš„æ–¹æ³•ã€?/p>

  1836òq?/font>åQŒæ³•å›½çš„æŸ¯è¥¿è¯æ˜Žè§£æž¾pÀL•°å¾®åˆ†æ–¹ç¨‹è§£çš„存在性ã€?/p>

  瑞士的å²å¦çº³è¯æ˜Žå…ähœ‰å·²çŸ¥å‘¨é•¿çš„一切å°é—­æ›²¾U¿ä¸­åŒ…围最大颿U¯çš„囑ÖŞ一定是圆ã€?/p>

  1837òq?/font>åQŒå¯d国的狄利克莱½W¬ä¸€‹Æ¡ç»™å‡ÞZº†ä¸‰è§’¾U§æ•°çš„一个收敛性定ç†ã€?/p>

  1840òq?/font>åQŒå¯d国的狄利克莱把解æžå‡½æ•°ç”¨äºŽæ•°è®ºï¼Œòq¶ä¸”引入了“狄利克莱â€çñ”æ•°ã€?/p>

  1841òq?/font>åQŒå¯då›½çš„é›…å¯æ¯”å¾ç«‹äº†è¡Œåˆ—å¼çš„¾pÈ»Ÿç†è®ºã€?/p>

  1844òq?/font>åQŒå¯d国的格拉斯曼研究多个å˜å…ƒçš„代数系¾lŸï¼Œé¦–次æå‡ºå¤šç»´½Iºé—´çš„æ¦‚å¿üc€?/p>

  1846òq?/font>åQŒå¯d国的雅克比æå‡ºæ±‚实对¿U°çŸ©é˜ëЉ¹å¾å€¼çš„雅坿¯”方法ã€?/p>

  1847òq?/font>åQŒè‹±å›½çš„布尔创立了布ž®”代敎ͼŒåœ¨åŽæ¥çš„电å­è®¡ç®—æœø™®¾è®¡æœ‰é‡è¦åº”用ã€?/p>

  1848òq?/font>åQŒå¯d国的库莫ž®”ç ”½I¶å„¿U数域中的因å­åˆ†è§£é—®é¢˜ï¼Œå¼•è¿›äº†ç†æƒÏx•°ã€?/p>

  英国的斯托克斯å‘现函数æžé™çš„一个é‡è¦æ¦‚å¿µâ€”â€”ä¸€è‡´æ”¶æ•›ï¼Œä½†æœªèƒ½ä¸¥æ ÆD¡¨˜q°ã€?/p>

  1850òq?/font>åQŒå¯d国的黎曼¾l™å‡ºäº†â€œé»Žæ›¼ç§¯åˆ†â€çš„定义åQŒæå‡ºå‡½æ•°å¯¿U¯çš„æ¦‚念ã€?/p>

  1851òq?/font>åQŒå¯d国的黎曼æå‡ºå…±åŞ映照的原ç†ï¼Œåœ¨åЛ学ã€å·¥½E‹æŠ€æœ¯ä¸­åº”用颇多åQŒä½†æœªç»™å‡ø™¯æ˜Žã€?/p>

  1854òq?/font>åQŒå¯d国的黎曼建立了更òq¿æ³›çš„一¾c»éž‹Æ§å‡ ä½•学——黎曼几何学åQŒåƈæå‡ºå¤šç»´æ‹“扑‹¹åŞ的概å¿üc€?/p>

  俄国的èžR比雪夫开始å¾ç«‹å‡½æ•°é€ÆD¿‘论,利用åˆç­‰å‡½æ•°æ¥é€ÆD¿‘夿‚的函数。二å世¾Uªä»¥æ¥ï¼Œç”׃ºŽç”µå­è®¡ç®—机的应用åQŒä‹Éå‡½æ•°é€ÆD¿‘论有很大的å‘展ã€?/p>

  1856òq?/font>åQŒå¯d国的¾l´å°”斯特拉斯¼‹®ç«‹æžé™ç†è®ºä¸­çš„一致收敛性的概念ã€?/p>

  1857òq?/font>åQŒå¯d国的黎曼详细地讨è®ÞZº†é»Žæ›¼é¢ï¼ŒæŠŠå¤šå€¼å‡½æ•°çœ‹æˆé»Žæ›¼é¢ä¸Šçš„å•值函数ã€?/p>

  1868òq?/font>åQŒå¯d国的普å•克在解æžå‡ ä½•中引˜q›ä¸€äº›æ–°çš„æ¦‚念,æå‡ºå¯ä»¥ç”¨ç›´¾UÑ€åã^é¢ç­‰ä½œäؓ基本的空间元素ã€?/p>

  1870òq?/font>åQŒæŒªå¨çš„æŽå‘现掾Ÿ¤ï¼Œòq¶ç”¨ä»¥è®¨è®ºå¾®åˆ†æ–¹½E‹çš„æ±‚积问题ã€?/p>

  德国的克朗尼格给å‡ÞZº†¾Ÿ¤è®ºçš„å…¬ç†ç»“构,˜q™æ˜¯åŽæ¥ç ”究抽象¾Ÿ¤çš„出å‘ç‚V€?/p>

  1872òq?/font>åQŒæ•°å­¦åˆ†æžçš„“算术化â€ï¼Œå³ä»¥æœ‰ç†æ•°çš„é›†åˆæ¥å®šä¹‰å®žæ•?德国 戴特金ã€åº·æ‰˜å°”ã€ç»´ž®”æ–¯ç‰ÒŽ‹‰æ–?ã€?/p>

  德国的克èŽÞpŒµå‘表了â€?a target="contents">埃尔朗根¾U²é¢†â€ï¼ŒæŠŠæ¯ä¸€¿Uå‡ ä½•å­¦éƒ½çœ‹æˆæ˜¯ä¸€¿U特ŒDŠå˜æ¢ç¾¤çš„ä¸å˜é‡è®ºã€?/p>

  1873òq?/font>åQŒæ³•国的埃尔¾c³ç‰¹è¯æ˜Žäº†e是超­‘Šæ•°ã€?/p>

  1876òq?/font>åQŒå¯d国的¾l´å°”斯特拉斯出版《解æžå‡½æ•°è®ºã€‹ï¼ŒæŠŠå¤å˜å‡½æ•°è®ºå»ºç«‹åœ¨äº†òq‚çñ”数的基础上ã€?/p>

  1881ï½?884òq?/font>åQŒç¾Žå›½çš„å‰å¸ƒæ–¯åˆ¶å®šäº†å‘é‡åˆ†æžã€?/p>

  1881ï½?886òq?/font>åQŒæ³•国的彭加勒连¾l­å‘表《微分方½E‹æ‰€¼‹®å®šçš„积分曲¾UÑ€‹çš„论文åQŒå¼€åˆ›å¾®åˆ†æ–¹½E‹å®šæ€§ç†è®ºã€?/p>

  1882òq?/font>åQŒå¯d国的林å¯dæ›ÆD¯æ˜Žäº†åœ†å‘¨çŽ‡æ˜¯­‘…è¶Šæ•°ã€?/p>

  英国的亥¾l´èµ›åˆ¶å®š˜q算微积åQŒè¿™æ˜¯æ±‚è§£æŸäº›å¾®åˆ†æ–¹½E‹çš„½Ž€ä¾¿æ–¹æ³•,工程上常有应用ã€?/p>

  1883òq?/font>åQŒå¯d国的åºäh‰˜ž®?/font>建立了集åˆè®ºåQŒå‘展了­‘…穷基数的ç†è®ºã€?/p>

  1884òq?/font>åQŒå¯d国的弗莱格出版《数论的基础》,˜q™æ˜¯æ•°ç†é€»è¾‘中é‡è¯ç†è®ºçš„å‘端ã€?/p>

  1887ï½?896òq?/font>åQŒå¯d国的辑ָƒž®”出版了四å·ã€Šæ›²é¢çš„一般ç†è®ºçš„讲义》,æ€È»“了一个世¾Uªæ¥å…³äºŽæ›²çº¿å’Œæ›²é¢çš„微分几何学的æˆå°±ã€?/p>

  1892òq?/font>åQŒä¿„国的æŽé›…普诺夫å¾ç«‹è¿åŠ¨ç¨³å®šæ€§ç†è®ºï¼Œ˜q™æ˜¯å¾®åˆ†æ–¹ç¨‹å®šæ€§ç†è®ºç ”½I¶çš„é‡è¦æ–šw¢ã€?/p>

  1892ï½?899òq?/font>åQŒæ³•国的彭加勒创立自守函数论ã€?/p>

  1895òq?/font>åQŒæ³•国的彭加勒æå‡ºåŒè°ƒçš„æ¦‚念åQŒå¼€åˆ›ä»£æ•°æ‹“扑学ã€?/p>

  1899òq?/font>åQŒå¯då›?a target="contents">希尔伯特的《几何学基础》出版,æå‡º‹Æ§å‡ é‡Œå¾—几何学的严格公熾pÈ»ŸåQŒå¯¹æ•°å­¦çš„å…¬ç†åŒ–æ€æ½®æœ‰å¾ˆå¤§åª„å“ã€?/p>

  瑞利½{‰äh最早æå‡ºåŸºäºŽç»Ÿè®¡æ¦‚å¿ëŠš„计算æ–ÒŽ³•——蒙特å¡è¯ºæ–¹æ³•çš„æ€æƒ³ã€‚二å世¾UªäºŒå年代柯æœ?å¾?ã€å†¯Â·è¯ÞZ¼Šæ›?¾Ÿ?½{‰ähå‘展了这个方法,åŽåœ¨ç”µå­è®¡ç®—æœÞZ¸ŠèŽ·å¾—òq¿æ³›åº”用ã€?/p>

 

公元åQ‘ï¼™åQï¼òq?ï½?åQ‘ï¼™åQ–ï¼òq?/font>

  åQ‘ï¼™åQï¼òq?/font>

  德国数学家希ž®”伯特,æå‡ºæ•°å­¦ž®šæœªè§£å†³çš?3个问题,引è“väº?0世纪许多数学家的å…Ïx³¨ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ1òq?/font>

  德国数学家希ž®”ä¼¯ç‰¹ï¼Œä¸¥æ ¼è¯æ˜Žäº†ç‹„利克莱原ç†ï¼Œå¼€åˆ›äº†å˜åˆ†å­¦çš„直接æ–ÒŽ³•åQŒåœ¨å·¥ç¨‹æŠ€æœ¯çš„¾U§æ‹´é—®é¢˜ä¸­æœ‰å¾ˆå¤šåº”用ã€?/p>

  德国数学家舒ž®”ã€å¼—‹z›ä¼¯¾U½æ–¯åQŒé¦–å…ˆæå‡ºç¾¤çš„表½Cºç†è®ºã€‚æ­¤åŽï¼Œå„ç§¾Ÿ¤çš„表示ç†è®ºå¾—到大é‡ç ”ç©¶ã€?/p>

  æ„大利数学家里é½ã€é½¾l´å¡”åQŒåŸºæœ¬ä¸Šå®Œæˆå¼ é‡åˆ†æžåQŒåˆåç»å¯¹å¾®åˆ†å­¦ã€‚确立了研究黎曼几何和相对论的分æžå·¥å…—÷€?/p>

ã€€ã€€æ³•å›½æ•°å­¦å®¶å‹’è´æ ¼åQŒæå‡ºå‹’è´æ ¼‹¹‹åº¦å’Œå‹’è´æ ¼¿U¯åˆ†åQŒæŽ¨òq¿äº†é•¿åº¦ã€é¢¿U¯ç§¯åˆ†çš„æ¦‚念ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ3òq?/font>

  英国数学家è´Â·¾|—ç´ åQŒå‘现集åˆè®ºä¸­çš„¾|—素悖论åQŒå¼•å‘ç¬¬ä¸‰æ¬¡æ•°å­¦å±æœºã€?/p>

  瑞典数学家弗列特è·å§†åQŒå¾ç«‹çº¿æ€§ç§¯åˆ†æ–¹½E‹çš„基本ç†è®ºåQŒæ˜¯è§£å†³æ•°å­¦ç‰©ç†é—®é¢˜çš„æ•°å­¦å·¥å…øP¼Œòq¶äؓ建立泛函分æžä½œå‡ºäº†å‡†å¤‡ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQï¼–òq?/font>

  æ„大利数学家赛维里,æ€È»“了å¤å…总£æ•°å‡ ä½•学的研½I¶ã€?/p>

  法国数学家弗勒锡ã€åŒˆç‰™åˆ©æ•°å­¦å®‰™‡Œæ–¯ï¼ŒæŠŠç”±å‡½æ•°¾l„æˆçš„æ— é™é›†åˆä½œä¸ºç ”½I¶å¯¹è±¡ï¼Œå¼•入函数½Iºé—´çš„æ¦‚念,òq¶å¼€å§‹åÅžæˆå¸Œž®”伯特空间。这是泛函分æžçš„呿ºã€?/p>

  德国数学家哈ž®”托格斯åQŒå¼€å§‹ç³»¾lŸç ”½I¶å¤šä¸ªè‡ªå˜é‡çš„å¤å˜å‡½æ•°ç†è®ºã€?/p>

  俄国数学安™©¬ž®”å¯å¤«ï¼Œé¦–次æå‡ºâ€œé©¬ž®”å¯å¤«é“¾â€çš„æ•°å­¦æ¨¡åž‹ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQï¼—òq?/font>

  德国数学家寇è´ï¼Œè¯æ˜Žå¤å˜å‡½æ•°è®ºçš„一个基本原ç†â€”—黎曼共形映照定ç†ã€?/p>

  ¾ŸŽç±è·å…°æ•°å­¦å®¶å¸ƒåŠ›_¨ž®”,å对在数学中使用排中律,æå‡ºç›´è§‚ä¸ÖM¹‰æ•°å­¦ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ8òq?/font>

  德国数学安™‡‘弗里斯,建立炚w›†æ‹“扑学ã€?/p>

  德国数学家策麦罗åQŒæå‡ºé›†åˆè®ºçš„å…¬ç†åŒ–¾pÈ»Ÿã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQï¼™òq?/font>

  德国数学家希ž®”伯特,解决了数è®ÞZ¸­è‘—åçš„åŽæž—问题ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ‘ï¼òq?/font>

  德国数学家施å¦å°¼èŒ¨ï¼Œæ€È»“äº?9世纪æœ?0世纪åˆçš„å„ç§ä»£æ•°¾pÈ»ŸåQŒå¦‚¾Ÿ¤ã€ä»£æ•°ã€åŸŸ½{‰çš„研究åQŒå¼€åˆ›äº†çŽîC»£æŠ½è±¡ä»£æ•°ã€?/p>

  ¾ŸŽç±è·å…°æ•°å­¦å®¶èµ\·布劳å¨å°”åQŒå‘çŽîC¸åŠ¨ç‚¹åŽŸç†åQŒåŽæ¥åˆå‘现了维数定ç†ã€å•¾U¯åÅžé€ÆD¿‘法ã€ä‹É代数拓扑æˆäØ“¾pÈ»Ÿç†è®ºã€?/p>

  英国数学家背·¾|—ç´ ã€å¡Â·æ–½ç“¦å…¹è¥¿å¾øP¼Œå‡ºç‰ˆã€Šæ•°å­¦åŽŸç†ã€‹ä¸‰åøP¼Œä¼å›¾æŠŠæ•°å­¦å½’¾U›_ˆ°å½¢å¼é€»è¾‘中去åQŒæ˜¯çŽîC»£é€»è¾‘ä¸ÖM¹‰çš„代表著作ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ‘3òq?/font>

  法国的厄·加当和å¯d国的韦耛_®Œæˆäº†åŠå•¾U¯æŽä»£æ•°æœ‰é™¾l´è¡¨½Cºç†è®ºï¼Œå¥ å®šäº†æŽ¾Ÿ¤è¡¨½Cºç†è®ºçš„基础。这在é‡å­åŠ›å­¦å’ŒåŸºæœ¬¾_’å­ç†è®ºä¸­æœ‰é‡è¦åº”用ã€?/p>

  德国的韦耳研½I‰™»Žæ›¼é¢åQŒåˆæ­¥äñ”ç”Ÿäº†å¤æµå½¢çš„æ¦‚念ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ‘ï¼”òq?/font>

  德国的豪斯é“夫æå‡ºæ‹“扑空间的公熾pÈ»ŸåQŒäؓ一般拓扑学建立了基¼‹€ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ‘5òq?/font>

  瑞士¾ŸŽç±å¾·å›½äººçˆ±å› æ–¯å¦å’Œå¾·å›½çš„å¡Â·æ–½ç“¦èŒ¨è¥¿å¾ähŠŠé»Žæ›¼å‡ ä½•ç”¨äºŽòq¿ä¹‰ç›¸å¯¹è®ºï¼Œè§£å‡ºçƒå¯¹¿U°çš„场方½E‹ï¼Œä»Žè€Œå¯ä»¥è®¡½Ž—水星近日点的移动等问题ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ‘8òq?/font>

  英国的哈å°ã€ç«‹½Wƒæ­¦ç‰¹åº”用å¤å˜å‡½æ•°è®ºæ–ÒŽ³•æ¥ç ”½I¶æ•°è®ºï¼Œå»ºç«‹è§£æžæ•°è®ºã€?/p>

  业wº¦çš„爱ž®”兰为改˜q›è‡ªåŠ¨ç”µè¯äº¤æ¢å°çš„设计,æå‡ºæŽ’队论的数学ç†è®ºã€?/p>

  希尔伯特½Iºé—´ç†è®ºçš„åÅžæˆ?匈牙åˆ?里斯)ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ‘ï¼™òq?/font>

  德国的亨赛尔建立P-adic数论åQŒè¿™åœ¨ä»£æ•°æ•°è®ºå’Œä»£æ•°å‡ ä½•中有é‡è¦ç”¨ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ’ï¼’òq?/font>

  德国的希ž®”伯ç‰ÒŽå‡ºæ•°å­¦è¦å½Õdº•å½¢å¼åŒ–çš„ä¸Õd¼ åQŒåˆ›ç«‹æ•°å­¦åŸº¼‹€ä¸­çš„å½¢å¼ä¸ÖM¹‰ä½“ç³»å’Œè¯æ˜Žè®ºã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ’3òq?/font>

  法国的厄·加当æå‡ºä¸€èˆ¬è”¾lœçš„微分几何学,ž®†å…‹èŽ±å› å’Œé»Žæ›¼çš„å‡ ä½•å­¦è§‚ç‚¹ç»Ÿä¸€èµäh¥åQŒæ˜¯¾U¤ç»´ä¸›æ¦‚å¿ëŠš„å‘端ã€?/p>

  法国的阿辄¡Ž›æå‡ºå微分方½E‹é€‚å®šæ€§ï¼Œè§£å†³äºŒé˜¶åŒæ›²åž‹æ–¹½E‹çš„æŸ¯è¥¿é—®é¢˜()ã€?/p>

  波兰的巴拿哈æå‡ºæ›´å¹¿æ³›çš„一¾cÕd‡½æ•°ç©ºé—´â€”—巴拿哈½Iºé—´çš„ç†è®?)ã€?/p>

  ¾ŸŽå›½çš„诺·¾l´çº³æå‡ºæ— é™¾l´ç©ºé—´çš„一¿U测度——维¾UÏxµ‹åº¦ï¼Œ˜q™å¯¹æ¦‚çŽ‡è®ºå’Œæ³›å‡½åˆ†æžæœ‰ä¸€å®šä½œç”¨ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ’5òq?/font>

  业wº¦çš„哈·波尔创立概周期函数ã€?/p>

  英国的费希尔以生物ã€åŒ»å­¦è¯•éªŒäØ“èƒŒæ™¯åQŒå¼€åˆ›äº†â€œè¯•验设计â€?数熾lŸè®¡çš„一个分æ”?åQŒä¹Ÿ¼‹®ç«‹äº†ç»Ÿè®¡æŽ¨æ–­çš„基本æ–ÒŽ³•ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ’ï¼–òq?/font>

  德国的纳脱大体上完æˆå¯¹è¿‘世代数有é‡å¤§å½±å“çš„ç†æƒ³ç†è®ºã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ’ï¼—òq?/font>

  ¾ŸŽå›½çš„æ¯•ž®”éœå¤«å¾ç«‹åŠ¨åŠ›ç³»¾lŸçš„¾pÈ»Ÿç†è®ºåQŒè¿™æ˜¯å¾®åˆ†æ–¹½E‹å®šæ€§ç†è®ºçš„一个é‡è¦æ–¹é¢ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ’8òq?/font>

  ¾ŸŽç±å¾·å›½äº?ç†ÂähŸ¯æœ—æå‡ø™§£å微分方½E‹çš„差分æ–ÒŽ³•ã€?/p>

  ¾ŸŽå›½çš„哈特莱首次æå‡ºé€šä¿¡ä¸­çš„ä¿¡æ¯é‡æ¦‚å¿üc€?/p>

  德国的格¾|—许ã€èŠ¬å…°çš„é˜¿å°”¼›æ–¯ã€è‹è”的拉甫˜qžæ·å¤«æå‡ºæ‹Ÿä¼¼å…±å½¢æ˜ ç…§ç†è®ºï¼Œ˜q™åœ¨å·¥ç¨‹æŠ€æœ¯ä¸Šæœ‰ä¸€å®šåº”用ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ“ï¼òq?/font>

  ¾ŸŽå›½çš„æ¯•ž®”éœå¤«å¾ç«‹æ ¼è®ºï¼Œ˜q™æ˜¯ä»£æ•°å­¦çš„é‡è¦åˆ†æ”¯åQŒå¯¹ž®„媄几何ã€ç‚¹é›†è®ºåŠæ³›å‡½åˆ†æžéƒ½æœ‰åº”用ã€?/p>

  ¾ŸŽç±åŒˆç‰™åˆ©äh冯¯‚¯ºä¼Šæ›¼æå‡ºè‡ªä¼´½Ž—å­è°±åˆ†æžç†è®ºåƈ应用于é‡å­åЛ学ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ“1òq?/font>

  瑞士的å¯d拉姆å‘现多维‹¹åŞ上的微分型和‹¹åŞ的上åŒè°ƒæ€§è´¨çš„å…³¾p»ï¼Œ¾l™æ‹“扑学以分æžå·¥å…—÷€?/p>

  奥地利的哥å¯dž®”è¯æ˜Žäº†å…¬ç†åŒ–数学体¾pÈš„ä¸å®Œå¤‡æ€§ã€?/p>

  è‹è”的柯ž®”莫哥洛夫和¾ŸŽå›½çš„费勒å‘展了马尔å¯å¤«˜q‡ç¨‹ç†è®ºã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ“ï¼’òq?/font>

  法国的亨·嘉当解决多元å¤å˜å‡½æ•°è®ºçš„一些基本问题ã€?/p>

  ¾ŸŽå›½çš„æ¯•ž®”éœå¤«ã€ç¾Ž¾c匈牙利人冯·è¯ÞZ¼Šæ›¼å¾ç«‹å„æ€åކ¾l的数学ç†è®ºã€?/p>

  法国的赫ž®”勃兰特ã€å¥¥åœ°åˆ©çš„哥德尔ã€ç¾Žå›½çš„克林建立递归函数ç†è®ºåQŒè¿™æ˜¯æ•°ç†é€»è¾‘的一个分支,在自动机和算法语­a€ä¸­æœ‰é‡è¦åº”用ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ“3òq?/font>

  匈牙利的奥·哈ž®”æå‡ºæ‹“扑群的ä¸å˜æµ‹åº¦æ¦‚å¿üc€?/p>

  è‹è”的柯ž®”莫哥洛夫æå‡ºæ¦‚率论的公ç†åŒ–体系ã€?/p>

  ¾ŸŽå›½çš„诺·¾l´çº³ã€ä¸•莱制订å¤òq³é¢ä¸Šçš„å‚…ç«‹å¶å˜å¼ç†è®ºã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ“ï¼”òq?/font>

  ¾ŸŽå›½çš„莫ž®”斯创å¾å¤§èŒƒå›´å˜åˆ†å­¦çš„ç†è®ºï¼Œä¸ºå¾®åˆ†å‡ ä½•和微分拓扑æä¾›äº†æœ‰æ•ˆå·¥å…—÷€?/p>

  ¾ŸŽå›½çš„铿 ¼æ‹‰æ–¯ç­‰è§£å†³æžå°æ›²é¢çš„基本问题——普拉多问题åQŒå³æ±‚通过¾l™å®šè¾¹ç•Œè€Œé¢¿U¯äؓ最ž®çš„æ›²é¢ã€?/p>

  è‹è”的辛钦æå‡ºåã^½EŒ™¿‡½E‹ç†è®ºã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ“5òq?/font>

  波兰的éœå‹’维奇等在拓扑学中引入åŒä¼¦ç¾¤åQŒæˆä¸ÞZ»£æ•°æ‹“扑和微分拓扑的é‡è¦å·¥å…—÷€?/p>

  法国的龚è´å°”开始研½I¶äñ”å“ä‹É用寿命和å¯é æ€§çš„æ•°å­¦ç†è®ºã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ“ï¼–òq?/font>

  德国寇尼克系¾lŸåœ°æå‡ºä¸Žç ”½I¶å›¾çš„ç†è®ºï¼Œ¾ŸŽå›½çš„è´ž®”æ²»½{‰å¯¹å›„¡š„ç†è®ºæœ‰å¾ˆå¤§çš„å‘展ã€?0òq´ä»£ä»¥åŽåQŒç”±äºŽåœ¨åšå¼ˆè®ºã€è§„划论ã€ä¿¡æ¯è®º½{‰æ–¹é¢çš„å‘展åQŒè€Œå¾—到广泛应用ã€?/p>

  çŽîC»£çš„代数几何学开始åÅžæˆã€?è·å…° 范å¯d凡尔登,法国外耻I¼Œ¾ŸŽå›½æŸ¥é‡Œæ–¯åŸºåQŒæ„大利 培·塞格勒½{?

  英国的图çüc€ç¾Žå›½çš„邱å‰ã€å…‹æž—ç­‰æå‡ºç†æƒ³çš„é€šç”¨è®¡ç®—æœºæ¦‚å¿µï¼ŒåŒæ—¶å»ºç«‹äº†ç®—法ç†è®ºã€?/p>

  ¾ŸŽç±åŒˆç‰™åˆ©äh 冯¯‚¯ºä¼Šæ›¼å»ºç«‹½Ž—å­çŽ¯è®ºåQŒå¯ä»¥è¡¨è¾ùN‡å­åœºè®ºæ•°å­¦ç†è®ÞZ¸­çš„一些概å¿üc€?/p>

  è‹è”的烦波列夫æå‡ºåå¾®åˆ†æ–¹ç¨‹ä¸­çš„æ³›å‡½åˆ†æžæ–ÒŽ³•ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ“ï¼—òq?/font>

  ¾ŸŽå›½çš„æ€€ç‰¹å°¼è¯æ˜Žå¾®åˆ†‹¹åŞ的嵌入定ç†ï¼Œ˜q™æ˜¯å¾®åˆ†æ‹“扑学的创始ã€?/p>

  è‹è”的彼得洛夫斯基æå‡ºå微分方程¾l„的分类法,得出æŸäº›åŸºæœ¬æ€§è´¨ã€?/p>

  瑞士的克拉默开始系¾lŸç ”½I‰™šæœø™¿‡½E‹çš„¾lŸè®¡ç†è®ºã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ“8òq?/font>

  布尔巴基丛书《数学原本》开始出版,ä¼å›¾ä»Žæ•°å­¦å…¬ç†ç»“构出å‘,以éžå¸¸æŠ½è±¡çš„æ–¹å¼å™è¿°å…¨éƒ¨çŽîC»£æ•°å­¦(法国 布尔巴基学派)ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ”ï¼òq?/font>

  ¾ŸŽå›½çš„å“¥å¾·å°”è¯æ˜Ž˜qžç®‹¾lŸå‡è¯´åœ¨é›†åˆè®ºå…¬ç†ç³»ä¸­çš„æ— çŸ›ç›¾æ€§ã€?/p>

  英国的ç»å¸å¨ž®”æå‡ºæ±‚æ•°å€ÆD§£çš„æ¾å¼›æ–¹æ³•ã€?/p>

  è‹è”的盖ž®”æ–¹ç‰ÒŽå‡ÞZº¤æ¢ç¾¤è°ƒå’Œåˆ†æžçš„ç†è®ºã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ”1òq?/font>

  ¾ŸŽå›½çš„éœå¥‡å®šä¹‰äº†‹¹åŞ上的调和¿U¯åˆ†åQŒåƈ用于代数‹¹åÅžåQŒæˆä¸ºç ”½I¶æµå½¢åŒè°ƒæ€§è´¨çš„分æžå·¥å…—÷€?/p>

  è‹è”çš„è°¢Â·ä¼¯æ©æ–¯å¦ã€æ—¥æœ¬çš„伊藤清开始å¾ç«‹é©¬ž®”å¯å¤«è¿‡½E‹ä¸Žéšæœºå¾®åˆ†æ–¹ç¨‹çš„è”¾p…R€?/p>

  è‹è”的盖ž®”芳特创立赋范环ç†è®ºåQŒä¸»è¦ç”¨äºŽç¾¤ä¸Šè°ƒå’Œåˆ†æžå’Œ½Ž—å­çŽ¯è®ºã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ”ï¼’òq?/font>

  ¾ŸŽå›½çš„诺·¾l´çº³ã€è‹è”的柯尔莫哥‹z›å¤«å¼€å§‹ç ”½I‰™šæœø™¿‡½E‹çš„预测åQŒæ×o˜q‡ç†è®ºåŠå…¶åœ¨ç«ç‚®è‡ªåŠ¨æŽ§åˆ¶ä¸Šçš„åº”ç”¨åQŒç”±æ­¤äñ”生了“统计动力学’ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ”3òq?/font>

  中国的林士谔æå‡ºæ±‚代数方½E‹æ•°å­—解的林士谔æ–ÒŽ³•ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ”ï¼”òq?/font>

  ¾ŸŽç±åŒˆç‰™åˆ©äh冯¯‚¯ºä¼Šæ›¼½{‰å¾ç«‹äº†å¯¹ç­–论,å›_šå¼ˆè®ºã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ”5òq?/font>

  法国的许瓦茨推广了å¤å…¸å‡½æ•°æ¦‚念,创立òq¿ä¹‰å‡½æ•°è®ºï¼Œå¯¹å¾®åˆ†æ–¹½E‹ç†è®ºå’Œæ³›å‡½åˆ†æžæœ‰é‡è¦ä½œç”¨ã€?/p>

  ¾ŸŽç±åŽäh陈çœíw«å¾ç«‹ä»£æ•°æ‹“扑和微分几何的蔾p»ï¼ŒæŽ¨è¿›äº†æ•´ä½“几何学的å‘展ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ”ï¼–òq?/p>

  ¾ŸŽå›½èŽ«å°”ç”µå­å·¥ç¨‹å­¦æ ¡å’Œå®¾å¤•法ž®égºšå¤§å­¦è¯•制æˆåŠŸ½W¬ä¸€å°ç”µå­è®¡½Ž—机ENIACã€?è®¾è®¡è€…äØ“åŸƒå…‹ç‰V€èŽ«å¸ŒèŽ±½{‰äh)ã€?/p>

  法国的外耛_¾ç«‹çŽ°ä»£ä»£æ•°å‡ ä½•å­¦åŸºç¡€ã€?/p>

  中国的厾|—庚å‘展了三角和法研½I¶è§£æžæ•°è®ºã€?/p>

  è‹è”的盖ž®”芳ç‰V€è¯ºä¾çޛ克å¾ç«‹ç½—伦兹¾Ÿ¤çš„表示ç†è®ºã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ”ï¼—òq?/font>

  ¾ŸŽå›½çš„埃·瓦尔特创立统计的åºè¯åˆ†æžæ³•ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ”8òq?/font>

  英国的阿希è´é€ å‡º½EÏx€æœºåQŒèƒ½åœ¨å„¿Uå˜åŒ–的外界æ¡äšg下自行组¾l‡ï¼Œä»¥è¾¾åˆ°ç¨³å®šçжæ€ã€‚鼓å¹è¿™æ˜¯äh造大脑的最åˆé›åž‹ã€æœºå™¨èƒ½­‘…过人等观点ã€?/p>

  ¾ŸŽå›½çš„诺·¾l´çº³å‡ºç‰ˆã€ŠæŽ§åˆ¶è®ºã€‹ï¼Œé¦–次使用控制è®ÞZ¸€è¯?/p>

  ¾ŸŽå›½çš„申农æå‡ºé€šä¿¡çš„æ•°å­¦ç†è®ºã€?/p>

  ¾ŸŽç±å¾·å›½äººå¼—里得里希斯ã€ç†Â·æŸ¯æœ—æ€È»“了鞾U¿æ€§å¾®åˆ†æ–¹½E‹åœ¨‹¹ä½“力学斚w¢çš„应用,推进了这斚w¢çš„ç ”½I¶ã€?/p>

  波兰的爱伦伯克ã€ç¾Žå›½çš„æ¡‘·麦克äëuæå‡ºèŒƒç•´è®ºï¼Œ˜q™æ˜¯ä»£æ•°ä¸­ä¸€¿U抽象的ç†è®ºåQŒä¼å›‘Ö°†æ•°å­¦¾lŸâ€”于æŸäº›åŽŸç†ã€?/p>

  è‹è”的康脱洛¾l´å¥‡ž®†æ³›å‡½åˆ†æžç”¨äºŽè®¡½Ž—æ•°å­¦ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ”ï¼™òq?/font>

  开始确立电å­ç®¡è®¡ç®—æœÞZ½“¾p»ï¼Œé€šç§°½W¬ä¸€ä»£è®¡½Ž—机。英国剑桥大学制æˆç¬¬ä¸€å°é€šç”¨ç”µå­½Ž¡è®¡½Ž—机EDSACã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ•ï¼òq?/font>

  英国的图çµå‘表《计½Ž—机和智力》一文,æå‡ºæœºå™¨èƒ½æ€ç»´çš„è§‚ç‚V€?/p>

  ¾ŸŽå›½çš„埃·瓦尔ç‰ÒŽå‡ºç»Ÿè®¡å†³½{–函数的ç†è®ºã€?/p>

ã€€ã€€è‹±å›½çš„å¤§Â·æ¨æå‡ø™§£æ¤­åœ†åž‹æ–¹½E‹çš„­‘…æ¾å¼›æ–¹æ³•,˜q™æ˜¯ç›®å‰ç”µå­è®¡ç®—æœÞZ¸Šå¸¸ç”¨çš„æ–¹æ³•ã€?/p>

  ¾ŸŽå›½çš„æ–¯ä¸èµ\ç‰V€ç¾Ž¾cåŽäººé™ˆçœèínã€æ³•国的艑֋’æ–¯æ›¼å…±åŒæå‡º¾U¤ç»´ä¸›çš„ç†è®ºã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ•1òq?/font>

  五åòq´ä»£ä»¥æ¥åQŒâ€œç»„åˆæ•°å­¦â€èŽ·å¾—è¿…é€Ÿå‘展,òq¶åº”用于试验设计ã€è§„划ç†è®ºã€ç½‘¾lœç†è®ºã€ä¿¡æ¯ç¼–ç ç­‰ã€?¾ŸŽå›½ éœå¤«æ›û|¼Œé©¬Â·éœž®”ç­‰)

  åQ‘ï¼™åQ•ï¼’òq?/font>

  ¾ŸŽå›½çš„è’™å“¥é©¬åˆ©ç­‰è¯æ˜Ž˜qžç®‹¾Ÿ¤çš„è§£æžæ€§å®šç?å›_¸Œž®”伯特第五问é¢?ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ•3òq?/font>

  ¾ŸŽå›½çš„基费等æå‡ºä¼˜é€‰æ³•åQŒåƈ先åŽå‘展了多¿U求函数æžå€¼çš„æ–ÒŽ³•ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ•5òq?/font>

  制定åŒè°ƒä»£æ•°ç†è®º(法国 äº¨Â·åŠ å½“ã€æ ¼‹z›è¾›ç‹„å…‹åQŒæ‡Lå…?çˆ×ƒëu伯克)ã€?/p>

  ¾ŸŽå›½çš„éš†å§†è´æ ¼æå‡ºæ±‚æ•°å€¼ç§¯åˆ†çš„éš†å§†è´æ–¹æ³•,˜q™æ˜¯ç›®å‰ç”µå­è®¡ç®—æœÞZ¸Šå¸¸ç”¨çš„一¿U方法ã€?/p>

  瑞典的跞®”蒙特等制定¾U¿æ€§å微分½Ž—å­çš„一般ç†è®ºã€?/p>

  ¾ŸŽå›½çš„æ‹‰æ–¯ç¦ç‰¹ç­‰æå‡ºè§£æ¤­åœ†åŞ或匾U¿åž‹å微分方½E‹çš„äº¤æ›¿æ–¹å‘æ³•ã€?/p>

  英国的罗æ€è§£å†³äº†ä»£æ•°æ•°çš„æœ‰ç†˜q«è¿‘问题ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ•ï¼–òq?/font>

  æå‡º¾lŸç­¹æ–ÒŽ³•(åˆå计划评审æ³?åQŒæ˜¯ä¸€¿U安排计划和¾l„织生äñ”的数学方法。美国æœé‚¦å…¬å”R¦–先采用ã€?/p>

  英国的邓‹¹Žå¸Œ½{‰æå‡ºçº¿æ€§è§„划的å•纯形方法ã€?/p>

  è‹è”的铋z›å°¼é’¦æå‡ø™§£åŒæ›²åž‹å’Œæ··åˆåž‹æ–¹½E‹çš„¿U¯åˆ†å…³ç³»æ³•ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ•ï¼—òq?/font>

  å‘现最优控制的å˜åˆ†åŽŸç†(è‹è” 庞特里雅é‡?ã€?/p>

  ¾ŸŽå›½çš„è´ž®”曼创立动æ€è§„划ç†è®ºï¼Œå®ƒæ˜¯ä½¿æ•´ä¸ªç”Ÿäº§è¿‡½E‹è¾¾åˆ°é¢„期最佳目的的一¿U数学方法ã€?/p>

  ¾ŸŽå›½çš„ç½—‹‚®ä¼¯æ‹‰ç‰¹½{‰ä»¥¾ŸŽå›½åºïLº³ž®”实验室的“感知器â€çš„研究ä¸ÞZ»£è¡¨ï¼Œå¼€å§‹è¿…速å‘展图象识别ç†è®ºã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ•8òq?/font>

  创立½Ž—法语言ALGOL(58)åQŒå޾l改˜q›åˆæå‡ºALGOL(60)åQŒALGOL(68)½{‰ç®—法语­a€åQŒç”¨äºŽç”µå­è®¡½Ž—机½E‹åºè‡ªåŠ¨åŒ–ã€?‹Æ§æ´²GAMMž®ç»„åQŒç¾Žå›½ACMž®ç»„)

  中国¿U‘学院计½Ž—技术研½I¶æ‰€è¯•制æˆåŠŸä¸­å›½½W¬ä¸€å°é€šç”¨ç”µå­è®¡ç®—机ã€?/p>

  åQ‘ï¼™åQ•ï¼™òq?/font>

  ¾ŸŽå›½å›½é™…商业机器公å¸åˆ¶æˆ½W¬ä¸€å°æ™¶ä½“管计算机“IBM 7090â€ï¼Œ½W¬äºŒä»£è®¡½Ž—机——åŠå¯ég½“晶体½Ž¡è®¡½Ž—机开始迅速å‘展ã€?/p>

  1959ï½?960òqß_¼Œä¼½ç½—åŽåŸŸè®ºåœ¨¾~–ç é—®é¢˜ä¸Šçš„应用åQŒå‘æ˜?BCHç ã€?法国 éœæ˜†äº¥å§†åQŒç¾Žå›?å„¿ÂïLŽ»è‰ÔŒ¼Œå°åº¦ 雷·å¯éƒ½åˆ©)

  åQ‘ï¼™åQ–ï¼òq?/font>

  ¾ŸŽå›½çš„塞®”é—¨æå‡ºæ•°å­—滤æ‡Lç†è®ºåQŒè¿›ä¸€æ­¥å‘å±•äº†éšæœº˜q‡ç¨‹åœ¨åˆ¶å¯¼ç³»¾lŸä¸­çš„应用ã€?/p>

  è‹è”的克雷因ã€ç¾Žå›½çš„™å¿å¼—特å¾ç«‹éžè‡ªå…±è½­ç®—å­çš„¾pÈ»Ÿç†è®ºã€?/p>

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å†?è¯ÞZ¼Šæ›ÆD®ºæ•°å­¦http://www.tkk7.com/WangBNU/archive/2005/09/20/13584.htmlLoveBNU ž®å…­ WangBNULoveBNU ž®å…­ WangBNUTue, 20 Sep 2005 13:55:00 GMThttp://www.tkk7.com/WangBNU/archive/2005/09/20/13584.htmlhttp://www.tkk7.com/WangBNU/comments/13584.htmlhttp://www.tkk7.com/WangBNU/archive/2005/09/20/13584.html#Feedback0http://www.tkk7.com/WangBNU/comments/commentRss/13584.htmlhttp://www.tkk7.com/WangBNU/services/trackbacks/13584.html     在数学领域中åQŒè¿™¿U讨论如果以一¿Uéžæ•°å­¦çš„æ–¹å¼è¿›è¡Œçš„è¯ï¼Œé™åˆ¶ž®†æ›´ä¸ø™‹›åˆ…R€‚讨论必然会昄¡¤ºå‡ºæŸäº›ä¸è‰¯çš„ç‰ÒŽ€§ï¼Œå¾—åˆ°çš„ç»“æžœæ‰€ä¾æ®çš„ææ–™å†³ä¸å¯èƒ½å……åˆ?相ååQ? é¢é¢ä¿±åˆ°çš„肤‹¹…的讨论å´ä¸å¯é¿å…。尽½Ž¡æˆ‘甚至æ„识刎ͼŒæˆ‘å°†è¦æå‡ºçš„è¯´æ³•æœ‰ä¸ž®‘短处,但是很抱歉我˜q˜æ˜¯å¾—说下去。此外,我准备表˜q°çš„观点åQŒä¹Ÿå®Œå…¨å¯èƒ½ä¸äØ“è®? 多其他数学家所赞åŒã€‚ä½ å¯èƒ½èŽ·å¾—ä¸€ä¸ªäh为的ä¸å¤ª¾pÈ»Ÿçš„å°è±¡å’Œè§£é‡Šã€‚我æå‡ºçš„看法,对这些讨论究竟有多少价å€û|¼Œä¹Ÿè®¸æ˜¯å¾ˆž®çš„。在我看æ¥ï¼ŒåˆÈ”»æ•°å­¦ç‰¹ç‚¹çš„æœ€æœ? 力的事实åQŒæ˜¯å®ƒå’Œè‡ªç„¶¿U‘学的特有蔾p…R€‚或者更一般地è¯ß_¼Œå®ƒå’Œä»ÖM½•一¾cÀL¯”处于¾U¯çÑaæè¿°æ°´å‡†æ›´é«˜¾U§ä¸€äº›çš„ã€èƒ½å¯¹ç»éªŒä½œå‡ø™§£é‡Šçš„¿U‘学的特有蔾p…R€‚大多数数学家和 éžæ•°å­¦å®¶ž®†ä¼šåŒæ„åQŒæ•°å­¦ä¸æ˜¯ä¸€é—¨ç»éªŒç§‘学,或者至ž®‘å¯ä»¥è¯´å®ƒä¸æ˜¯ä»¥æŸç§æ¥è‡ª¾l验¿U‘学技术的æ–ÒŽ³•实现的,但是它的å‘展和自然科学å´ç´§å¯†ç›¸è”。它的一个主è¦åˆ† 支几何学åQŒä¹°é™…上èµähºäºŽè‡ªç„¶ç§‘å­¦ã€ç»éªŒç§‘学。æŸäº›çŽ°ä»£ç§‘å­¦ä¸­æœ€å¤§çš„ç‰|„Ÿ(我认为是最大的)æ¸…æ¥šåœ°æ¥æºäºŽè‡ªç„¶¿U‘å­¦åQŒæ•°å­¦æ–¹æ³•渗é€å’Œæ”¯é…ç€è‡ªç„¶¿U‘å­¦çš„è®¸å¤šâ€œç† è®ºâ€åˆ†æ”¯ã€‚在çŽîC»£¾l验¿U‘å­¦ä¸­ï¼Œèƒ½å¦æŽ¥å—æ•°å­¦æ–ÒŽ³•或与数学相近的物ç†å­¦æ–ÒŽ³•åQŒå·²æ„ˆæ¥æ„ˆæˆä¸ø™¯¥å­¦ç§‘æˆåŠŸä¸Žå¦çš„ä¸»è¦æ ‡å‡†ã€‚确实,整个自然¿U‘学一¾pÕdˆ—ä¸å¯å‰²æ–­çš„相 ¾l§çŽ°è±¡çš„é“¾ï¼Œå®ƒä»¬éƒ½è¢«æ‰“ä¸Šæ•°å­¦çš„æ ‡å¿—ï¼Œå‡ ä¹Žå’Œç§‘å­¦è¿›æ­¥çš„ç†å¿µæ˜¯ä¸€è‡´çš„åQŒè¿™ä¹Ÿå˜å¾—è¶Šæ¥è¶Šæ˜Žæ˜¾äº†ã€‚生物学å˜å¾—æ›´å—åˆ°åŒ–å­¦å’Œç‰©ç†æ¸—é€ï¼Œ˜q™äº›åŒ–学是实验和ç†è®ºçš„物 ç†ï¼Œè€Œç‰©ç†æ˜¯å½¢å¼ç”šäؓ数学化的ç†è®ºç‰©ç†ã€?
      有一个甚为特ŒDŠçš„æ•°å­¦æ€§è´¨çš„䏤釿€§ï¼ŒäºÞZ»¬å¿…é¡»ç†è§£å®ƒï¼ŒæŽ¥å—它,òq¶ä¸”æŠŠå®ƒå¸æ”¶åˆ°è‡ªå·±æ­£åœ¨æ€è€ƒçš„主题中去。这¿U䏤釿€§æ˜¯æ•°å­¦çš„æœ¬æ¥é¢ç›®ï¼Œæˆ‘ä¸ç›æ€¿¡æ— éœ€ç‰ºç‰²äº‹ç‰©çš„实质,ž®±å¯èƒ½ç®€åŒ–å’Œå•一化对事物的看法ã€?
      因而我òq¶ä¸è¯•图ä¸ÞZ½ æä¾›ä¸€¿Uå•一化的模å¼åQŒæˆ‘ž®†å°½å¯èƒ½åœŽÍ¼Œæå†™æ•°å­¦æ‰€å…ähœ‰çš„多é‡çŽ°è±¡ã€‚æ— å¯å¦è®¤ï¼Œåœ¨äh们能惌™±¡çš„那部分¾U¯çÑa数学中,æŸäº›æœ€ä¸ºæ¿€åЍäh心的ç‰|„Ÿæ¥è‡ªè‡ªç„¶¿U‘å­¦åQŒæˆ‘ž®†æåŠä¸¤ä¸ªæœ€å€¼å¾—¾Uªå¿µçš„事实ã€?
      ½W¬ä¸€ä¸ªä¾‹å­æ˜¯å‡ ä½•学。几何学是å¤ä»£æ•°å­¦ä¸­çš„一个主è¦éƒ¨åˆ†ï¼ŒçŽ°åœ¨ä»ç„¶æ˜¯çŽ°ä»£æ•°å­¦ä¸­å‡ ä¸ªä¸»è¦åˆ†æ”¯ä¹‹ä¸€ã€‚毋庸置疑,它的å¤ä»£èµähºæ˜¯ç»éªŒçš„åQŒå®ƒå¼€å§‹æˆä¸ÞZ¸€é—¨å­¦¿U‘åÆˆ ä¸åƒå½“今的ç†è®ºç‰©ç†ã€‚离开˜q™äº›˜q¹è±¡åQŒå°±å¾ˆéš¾è¯´â€œå‡ ä½•å­¦â€æ˜¯ä»€ä¹ˆäº†åQŒæ¬§æ°çš„å…¬ç†åŒ–å¤„ç†æ˜¯å‡ ä½•学脱¼›È»éªŒå‘å‰è·¨å‡ÞZ¸€å¤§æ­¥çš„æ ‡å¿—,但是它全然ä¸èƒ½ç®€å•åœ°è¢«çœ‹æˆæ˜¯ 军_®šæ€§çš„ã€ç»å¯¹çš„ã€æœ€¾lˆçš„一步。欧æ°çš„å…¬ç†åŒ–在æŸäº›æ–šw¢òq¶ä¸èƒ½æ»¡­‘³çް代ç»å¯¹çš„å…¬ç†åŒ–å¯¹ä¸¥æ ¼æ€§çš„è¦æ±‚åQŒå½“ç„¶è¿™ä¸æ˜¯ä¸»è¦çš„æ–¹é¢ã€‚最本质的是æŸäº›æ— ç–‘是ç»éªŒçš„å­? ¿U‘,如力学和热力学,也或多或ž®‘地常常由æŸäº›ä½œè€…æå‡ÞZ¸€äº›å…¬ç†åŒ–的处ç†ã€‚然而所有这些都很难­‘…出Euclid的程åºã€‚我们时代的¾lå…¸ç†è®ºç‰©ç†åQ? Newton原ç†åQŒå®ƒçš„æ–‡å­—åÅžå¼å’Œæœ€é‡è¦çš„实质部分都是很åƒEuclid的。当然在所有这些例å­ä¸­åQŒæåˆ°çš„公设都是以支æŒè¿™äº›å®šç†çš„物ç†è€ƒå¯Ÿã€å®žéªŒè®ºè¯ä½œ 为åŽç›„¡š„。但是äh们å¯ä»¥è®ºè¯ï¼šåœ¨å‡ ä½•学获得两干多年的稳定和æƒå¨ä¹‹å‰(˜q™ç§æƒå¨æ˜¯ç†è®ºç‰©ç†çš„çŽîC»£¾l“构所¾~ÞZ¹çš?åQŒç‰¹åˆ«ä»Žå¤ä»£çš„è§‚ç‚ÒŽ¥çœ‹ï¼Œæå‡ºä¸€¿Uç±»ä¼égºŽ Euclid的解释是å¯èƒ½çš?
      ž®½ç®¡è‡ªEuclid以æ¥åQŒåœ¨ä½¿å‡ ä½•学与ç»éªŒè„±¼›ÀL–¹é¢å·²¾l逿­¥åœ°å–得了˜q›å±•åQŒä½†æ˜¯å“ªæ€•在今天åQŒå®ƒä¹Ÿå†³æ²¡æœ‰å˜å¾—å分完备。鞋Ƨ几何学的讨论æä¾›äº†˜q™æ–¹é¢çš„一ä¸? å¥½çš„è¯´æ˜Žã€‚å®ƒä¹Ÿå¯¹æ•°å­¦æ€æƒ³çš„矛盄¡Š¶æ€æä¾›äº†ä¸€¿U说明,ž®½ç®¡˜q™ç§è®¨è®ºå¤§éƒ¨åˆ†å‘生在高度抽象的水òq³ä¸ŠåQŒå®ƒæ‰€å¤„ç†çš„æ˜¯‹Æ§æ°â€œç¬¬äº”å…¬è®ä€æ˜¯å¦äؓ其他公设的推论的¾U? ¾_šw€»è¾‘问题;å½¢å¼ä¸Šçš„论战由Klein的纯¾_ÒŽ•°å­¦çš„å…¸èŒƒä½œå“æ‰€æ€È»“ã€‚ä»–è¯æ˜Žäº†ä¸€‹Æ§æ°òq³é¢åQŒå¯ä»¥é€šè¿‡å½¢å¼åœ°é‡æ–°å®šä¹‰æŸäº›åŸºæœ¬æ¦‚念而æˆä¸ºéž‹Æ§åã^é¢ã€‚这里从开å§? 到结æŸï¼Œéƒ½è¿˜æ˜¯ç”±¾l验促进的。所有欧æ°å…¬è®„¡š„原始æ ÒŽ®æ˜„¡„¶éƒ½æ˜¯å¯ÒŽ•´ä¸ªæ— ½I·åã^é¢çš„æ¦‚念所作出的鞾l验的刻画,ä¸ÞZ»€ä¹ˆåªæœ‰ç¬¬äº”公设会有问题呢?˜q™ç§æ’‡å¼€æ‰€æœ‰æ•° 学的逻辑分æžåQŒåšæŒå¿…™åÈ”±¾l验æ¥ç¡®å®šæ¬§æ°å‡ ä½•æ˜¯å¦æœ‰æ„ä¹‰çš„æ€æƒ³åQŒç¡®å®žæ˜¯ç”±æœ€ä¼Ÿå¤§çš„æ•°å­¦å®¶é«˜æ–¯æå‡ºçš„ï¼ŒåŽæ¥ç”±BolyaiåQŒLobachevskyåQ? Riemannå’ŒKlein把它å˜å¾—æ›´äØ“æŠ½è±¡ã€‚ç„¶è€Œæˆ‘ä»¬ä»Šå¤©æ‰€è€ƒå¯Ÿçš„å…³äºŽæœ€åˆäº‰è®ºçš„å½¢å¼ä¸Šç»“果,ä¸ç®¡æ˜¯ç»éªŒçš„æˆ–者物ç†å­¦çš„ï¼Œéƒ½å·²æœ‰å®šè®ºã€‚å¹¿ä¹‰ç›¸å¯¹è®ºçš„å‘ çŽŽÍ¼Œ˜q«ä‹ÉäºÞZ»¬å¯¹å…³äºŽå‡ ä½•å­¦ç›æ€º’关系的观点进行修正。这¿U修正是在全新的背景下进行的。最åŽï¼ŒäºÞZ»¬ž®Þpƒ½æŽ¥è§¦åˆîC¸€òq…完æˆäº†çš„å¯ä¾›æ¯”较的图景。这最åŽçš„˜q›å±•是由 ˜q™æ ·ä¸€ä»£äh完æˆçš„,他们看到了欧æ°å…¬ç†æ–¹æ³•å·²è¢«çŽ°ä»£å…¬ç†æ´¾é€»è¾‘æ•°å­¦å®¶å¤„ç†æˆä¸ºå®Œå…¨éž¾l验的和抽象的。这两ç§è¡¨é¢ä¸Šä¼¼ä¹Žæ˜¯å†²çªçš„æ€åº¦åQŒå®Œ¾ŸŽåœ°åˆåƈæˆä¸€¿Uæ•°å­? æ€æƒ³;å› æ­¤åQŒHilbert在公ç†å‡ ä½•学和广义相对论斚w¢éƒ½ä½œå‡ÞZº†é‡è¦çš„èµAçŒ®ã€‚ç¬¬äºŒä¸ªä¾‹å­æ˜¯å¾®¿U¯åˆ†åQŒæˆ–者说是由它生æˆçš„æ•°å­¦åˆ†æžã€‚å¾®¿U¯åˆ†æ˜¯è¿‘代数学的最æ—? çš„æˆæžœï¼Œå¯¹å®ƒçš„é‡è¦æ€§ï¼Œä½œä“Qä½•ä¼°ä»·éƒ½å¾ˆéš¾è®¤äØ“æ˜¯è¿‡é«˜çš„ã€‚å°½½Ž¡æˆ‘è®¤äØ“å®ƒçš„¼‹®å®šæ¯”现代数学å‘端中的ä“Q何其他事物具有更多的歧义性,但是数学分æžçš„ç³»¾lŸï¼Œå®ƒçš„é€? 辑展开ä»ç„¶æ˜¯ç²¾¼‹®æ€ç»´æ–šw¢æœ€å¤§çš„æŠ€æœ¯ä¸Šçš„进步ã€?
      微积分的èµähºæ˜„¡„¶æ˜¯ç»éªŒçš„åQŒKeplerž®è¯•ç€åšçš„æœ€æ—©çš„¿U¯åˆ†åQŒè¢«å«åšâ€œdolichometryâ€â€”â€”å°æ¡¶çš„é‡åº¦â€”—å³é‡åº¦ç”±æ›²é¢åŒ…å›´è“væ¥çš„物体的容 ¿U¯ã€‚这是éžå…¬ç†åŒ–çš„åQŒç»éªŒçš„å‡ ä½•å­¦ï¼Œè€Œä¸æ˜¯Euclid以åŽçš„é‚£¿U几何学åQŒKepler是完全知é“这些的。Newtonå’ŒLeibnizçš„é‚£äº›ä¸»è¦æˆæžœå’Œ 主è¦å‘现¼‹®å®žèµähºäºŽç‰©ç†å­¦ã€‚Newton呿˜Žçš„â€œæµæ•°â€è¿½Ž—,本质上是ä¸ÞZº†åŠ›å­¦ã€‚äº‹å®žä¸ŠåQŒè¿™ä¸¤é—¨å­¦ç§‘åQŒå¾®¿U¯åˆ†å’ŒåŠ›å­¦ï¼Œæ˜¯ç”±å®ƒä»¬æˆ–å¤šæˆ–å°‘åœ°ç»“åˆåœ¨ä¸€é½è€Œå¾—åˆ? å‘展的。微¿U¯åˆ†çš„æœ€åˆçš„一些陈˜qŽÍ¼Œæ•°å­¦ä¸Šç”šè‡›_¯ä»¥æ˜¯ä¸ä¸¥æ ¼çš„。一个举_„¡¡®çš„åŠç‰©ç†çš„陈˜qŽÍ¼Œæ˜¯Newton以åŽä¸€ç™¾äº”å多òq´æ¥ä»…有的一¿Uå¯ä¾›ä‹É用的陈述!˜q? 一时期数学分æžå–得了æŸäº›æœ€é‡è¦çš„è¿›æ­?而这¿U举_„¡¡®æ€§ä¸èƒ½é€‚应于基¼‹€!˜q™æ—¶æœŸçš„æŸäº›ä¸Õd¯¼çš„æ•°å­¦ç²¾¼œžæ˜¾ç„¶æ˜¯ä¸ä¸¥æ ¼çš„åQŒå¦‚Euler;但是å¦å¤–一些数学家åQ? 主è¦çš„如Gausså’ŒJacobiž®±åƈéžå¦‚此。这¿Uå‘展æžä¸ºå«æ··å’Œæ¨¡ç³ŠåQŒå®ƒå’Œç»éªŒçš„关系åQŒç¡®å®žä¸æ˜¯æŒ‰ç…§æˆ‘ä»?或Euclid)æå‡ºçš„æŠ½è±¡çš„和严格的æƒÏx³•é‚? æ —÷€‚ä½†æ˜¯åÆˆæ²¡æœ‰æ•°å­¦å®¶æƒ³æŽ’æ–¥å®ƒã€‚é‚£ä¸ªæ—¶æœŸç¡®å®žä¹Ÿäº§ç”Ÿäº†ç¬¬ä¸€‹¹çš„æ•°å­¦ã€‚å³ä½¿åœ¨æœ¬è´¨ä¸Šæ˜¯ç”±Cauchyé‡å¾çš„严格性盛行之åŽï¼Œä¸€¿U特ŒDŠçš„åŠç‰©ç†æ–¹æ³•在 Riemann那里ä»ç„¶å¾—到了å¤èŒã€‚Riemann的科学的个性本íw«å°±æ˜¯ä¸€ä¸ªæ•°å­¦çš„䏤釿€§çš„光辉榜样åQŒè¿™äº›å¯ä»¥åœ¨Riemannå’ŒWeierstrass 的争è®ÞZ¸­è§åˆ°åQŒå¦‚æžœæˆ‘è¯¦ç»†åœ°åˆ—å‡ø™¿™äº›ï¼Œææ€•会使技术细节噘q°å¾—˜q‡åˆ†å¤šäº†ã€‚自Weierstrass以æ¥åQŒåˆ†æžæ•°å­¦ä¼¼ä¹Žå˜å¾—完全抽象ã€ä¸¥æ ¼å’Œéžç»éªŒäº†åQŒå…¶å®? ˜q™ä¹Ÿä¸æ˜¯¾l对真实的。在最˜q‘两代äh中å‘生的有关数学和逻辑的“基¼‹€â€çš„争论åQŒé©±æ•£äº†è®¸å¤šå…³äºŽ˜q™æ–¹é¢çš„错误的å‰ò惟ë€?
      ˜q™äؓ我带æ¥äº†½W¬ä¸‰ä¸ªä¾‹å­ï¼Œå®ƒå’Œä¸Šè¿°äº‰è®ºçš„判断是有关的,但是˜q™ä¸ªä¾‹å­æ›´å¤šåœ°æ˜¯è®ø™¿°æ•°å­¦ä¸Žå“²å­¦æˆ–认识的关¾p»ï¼Œè€Œä¸æ˜¯æ•°å­¦ä¸Žè‡ªç„¶¿U‘学的关¾p»ï¼Œå®ƒç”¨ä¸€¿U引人注ç›? 的方å¼è¯´æ˜Žâ€œç»å¯¹çš„â€æ•°å­¦ä¸¥æ ¼æ€§çš„æ¦‚念òq¶ä¸æ˜¯ä¸å¯æ”¹å˜çš„。严格性概å¿ëŠš„å¯å˜æ€§è¡¨æ˜Žï¼šåœ¨æ•°å­¦æŠ½è±¡ä¹‹å¤–çš„æŸäº›äº‹ç‰©åQŒä½œä¸ø™¡¥å¿ä¸­‘›_¿…™å»è¿›å…¥æ•°å­¦ã€‚在分æžå…³äºŽâ€œåŸº ¼‹€â€çš„争论æ—Óž¼Œæˆ‘一直ä¸èƒ½ä‹É自己¼‹®ä¿¡åQšè¿™¿U说法一定有利于外部æˆåˆ†çš„ç»éªŒæ€§è´¨åQŒå°½½Ž¡åœ¨è®¨è®ºçš„æŸäº›è¨€è¯ä¸ŠåQŒå¯¹˜q™æ ·ä¸€¿Uè¯´æ˜Žçš„æ”¯æŒæ˜¯ååˆ†å¼ºæœ‰åŠ›çš„ï¼Œä½†æ˜¯æˆ‘åÆˆæ²? 有把它看作是¾l对åœîC¸å¯äº‰è®®çš„。然而有两äšg事是清楚的。第一åQŒå·²¾l引入æŸäº›éžæ•°å­¦äº‹ç‰©åQŒè¿™æ˜¯æœ¬è´¨çš„åQŒä¸½Ž¡å®ƒä¸Žç»éªŒç§‘学或者哲学或者与两者如何蔾p»ï¼Œå®ƒçš„é? ¾l验的特点,仅当äºÞZ»¬å‡è®¾å“²å­¦(æ›´äØ“ä¸“é—¨çš„è®¤è¯†è®º)能够独立于ç»éªŒè€Œå­˜åœ¨æ—¶æ‰èƒ½ä½¿äh注æ„(˜q™ä¸ªå‡è®¾ä»…是必è¦çš„è€Œä¸æ˜¯å……分的)。第二,ä¸é¡¾å…³äºŽâ€œåŸº¼‹€â€çš„äº? 论å¯èƒ½ä½œå‡ºçš„æœ€å¥½è§£é‡Šï¼Œæ•°å­¦çš„ç»éªŒæ¥æºæ˜¯å—到如我们较早æåˆ°çš„例å­(几何学和微积åˆ?的强有力地支æŒçš„ã€‚åœ¨åˆ†æžæ•°å­¦ä¸¥æ ¼æ€§æ¦‚å¿ëŠš„å¯å˜æ€§æ—¶åQŒæˆ‘希望主è¦å¼ø™°ƒ 的是上é¢å·²è°ˆåŠçš„“基¼‹€â€çš„è®ÞZº‰ã€‚但是,我喜‹Æ¢é¦–先简è¦åœ°è€ƒå¯Ÿé—®é¢˜çš„第二方é¢ã€‚å°½½Ž¡è¿™æ–šw¢ä¹Ÿèƒ½åŠ å¼ºæˆ‘çš„è®ø™¯åQŒä½†æ˜¯æˆ‘把它看作½W¬äºŒä½çš„åQŒå› ä¸ºå®ƒçš„结论的¾lˆæž 性比“基¼‹€â€è®ºè¯çš„分æžè¦å°‘åQŒæˆ‘æ­£åœ¨æŠŠè¿™ä¸ªå½’è¯æ€ºŽæ•°å­¦â€œé£Žæ ¼â€çš„æ”¹å˜ã€‚大家知é“ï¼Œå†™å‡ºçš„æ•°å­¦è¯æ˜Žçš„风格已绾l历了相当大的è“vè½ï¼Œè¯´è“vè½æ¯”­‘‹å‘è¦å¥½ä¸€ç‚¹ï¼Œå›? 为在æŸäº›æ–šw¢åQŒå½“代作者和18世纪æˆ?9世纪的æŸäº›ä½œè€…之间的差别比当代的作者和Euclidä¹‹é—´çš„å·®åˆ«è¦æ›´äؓ大一些。此外,å¦ä¸€æ–šw¢åQŒå®ƒä»¬æœ‰ç€å€¼å¾—æ³¨æ„ çš„ç»ä¹…ä¸å˜çš„东西。在有些呈现了æŸäº›å·®åˆ«çš„领域åQŒæ— éœ€å¼•è¿›ä»ÖM½•æ–°çš„æ€æƒ³åQŒå®ƒä»¬çš„主è¦å·®åˆ«åQŒå°±å¯èƒ½æ¶ˆé™¤ã€‚但是在许多场åˆåQŒè¿™äº›å·®åˆ«æ˜¯å¦‚此的广泛,以致使ähå¼€ 始怀疑:在这¿U分歧的é“èµ\上,差别是å¦èƒ½ä»…仅由作者的风格ã€è¯•验和教育上的差别æ¥è¯´æ˜Žå‘¢?ä»–ä»¬å®žé™…ä¸Šåœ¨æž„æˆæ•°å­¦çš„ä¸¥è°¨æ€§æ–¹é¢æ˜¯å¦å…·æœ‰åŒæ ïLš„æ€æƒ³å‘?最åŽï¼Œ 在æžç«¯çš„æƒ…况ä¸?例如åQšä¸Šé¢æ‰€è¯´çš„18ä¸–çºªåŽæœŸåˆ†æžæ–šw¢çš„许多工ä½?åQŒå·®åˆ«æ—¢æ˜¯æœ¬è´¨çš„åQŒå¦‚æžœå®Œå…¨åªæ˜¯äؓ了有助于新的和æ„义深˜qœçš„å·²ç»å‘展了一癑֤šòq´çš„ç†è®º çš„è¯åQŒå®ƒåˆæ˜¯å¯ä»¥è¡¥æ•‘的,有些按此¿Uä¸ä¸¥æ ¼æ–¹å¼å·¥ä½œç€çš„æ•°å­¦å®¶(或者他们的æŸäº›å¯ÒŽ­¤æŒæ‰¹è¯„æ€åº¦çš„åŒè¾ˆäh)是æ„识到它们¾~ÞZ¹ä¸¥æ ¼æ€§çš„。或者更为客观地è¯ß_¼šä»? 们关于什么是数学½E‹åºçš„æƒ³æ³•是愿æ„éµåó@我们æå‡ºçš„观点的åQŒä½†ä»–们的行动å´òq‰™žå¦‚此。但是å¦ä¸€äº›ähåQŒä¾‹å¦‚:˜q™æ—¶æœŸçš„æœ€ä¼Ÿå¤§çš„学者Eulerä¼ég¹Žåšå®šåœ°æŒæœ‰è‡ª å·Þqš„æ ‡å‡†åQŒåƈ且一直在按他自己标准行事ã€?
      ä½†æ˜¯æˆ‘ä¸æƒŒ™¿›ä¸€æ­¥å¼ºè°ƒè¿™ä»¶äº‹ã€‚我ž®†å›žåˆ°åˆšæ‰åœä¸‹çš„关于“数学基¼‹€"的论争方é¢åŽ»ã€‚åœ¨19世纪末和20世纪åˆï¼ŒæŠ½è±¡æ•°å­¦çš„一个新分支åQŒGåQŽCantor的集 åˆè®ºåQŒå¼•å‡ÞZº†å›°éš¾ã€‚峿Ÿäº›æŽ¨ç†å¼•å‘了矛ç›?当这些推ç†åƈä¸å¤„于集åˆè®ºçš„中心的和“普适â€çš„åœîC½æ—Óž¼Œæ€ÀL¯”è¾ƒå®¹æ˜“æ ¹æ®æŸäº›åÅžå¼çš„æ ‡å‡†æ¶ˆé™¤å®ƒï¼Œä½†æ˜¯ä¸ÞZ»€ä¹ˆé›†åˆè®º 的厾l§éƒ¨åˆ†æ¯”集åˆè®ø™‡ªíw«æ›´å¯ä¿¡˜q™æ˜¯ä¸æ¸…楚的。除了事åŽçœ‹åˆ°å®ƒä»¬äº‹å®žä¸Šå¼•å‘çùNš¾ä¹‹å¤–åQŒå¯¹ä»€ä¹ˆæ˜¯å…ˆéªŒçš„动因,什么是与之一致的哲学特å¾åQŒäh们如何从惌™¦è§£å†³çš? 集åˆè®ÞZ¸­åŽÕdˆ†¼›Õd‡ºå®ƒä»¬ä¹Ÿæ˜¯ä¸æ¸…楚的。紧接ç€å¯¹è¿™¿U情况进行研½I¶çš„ä¸»è¦æ˜¯Russellå’ŒWeylåQŒåŽæ¥ç”±Brouwer作出¾l“论åQŒè¿™äº›ç ”½I¶è¡¨æ˜Žï¼šä¸ä»…é›†åˆ è®ºï¼Œè€Œä¸”å¤§éƒ¨åˆ†çŽ°ä»£æ•°å­¦æ‰€ä½¿ç”¨çš„â€œä¸€èˆ¬æœ‰æ•ˆæ€§â€å’Œâ€œå­˜åœ¨æ€§â€æ¦‚念,在哲学上是è¦å¼•è“v异议的。一个较ž®‘地å…ähœ‰˜q™ç§ä¸å¯é¢„料的特点的“数学系¾lŸâ€æ˜¯â€œç›´è§‰ä¸» 义â€ï¼Œå®ƒæ˜¯ç”±Brouwerå‘展的。但是按˜q™ç§æ–¹å¼åQŒçŽ°ä»£æ•°å­¦ä¸­åQŒç‰¹åˆ«æ˜¯åœ¨åˆ†æžæ•°å­¦ä¸­åQŒç™¾åˆ†ä¹‹äº”å以上的最有生机的部分或者è¦è¢«â€œæ¸…é™¤â€æŽ‰åQŒæˆ–者将å˜å¾—æ—? 效了åQŒæˆ–者必™å»è¡¥åŠ æŸäº›æ›´ä¸ºå¤æ‚的考察æ¥è¿›è¡Œè®ºè¯ã€‚åŽä¸€˜q‡ç¨‹åQŒå¸¸å¸æ€‹É有效性的一般性和推导的漂亮方é¢ä¼šæœ‰æ‰€å‡è‰²ã€‚但是Brouwerå’ŒWeylè®¤äØ“åQšæ ¹æ? ˜q™äº›æ€æƒ³åŽÖM¿®æ­£æ•°å­¦ä¸¥æ ¼æ€§çš„æ¦‚念是必è¦çš„ã€?
      ä¸å¯èƒ½è¿‡é«˜åœ°ä¼°è®¡˜q™äº›äº‹æƒ…çš„æ„义。在20世纪30òq´ä»£åQŒæœ‰ä¸¤ä½æŒç¬¬ä¸€¿Uæ€åº¦çš„æ•°å­¦å®¶å®žé™…上æå‡ÞZº†åQšæ•°å­¦çš„ä¸¥æ ¼æ€§æ¦‚å¿µå’Œæ€Žæ ·æž„æˆä¸€ä¸ªç²¾¼‹®è¯æ˜Žçš„è§‚å¿µåº”è¯¥æ˜¯å¯ ä»¥æ”¹å˜çš„!下列的展开是值得注æ„的:     
      1åQŽä»…有很ž®‘的数学å®Óž¼Œåœ¨ä»–们自己日常工作中åQŒæ„¿æ„æŽ¥å—æ–°çš„,苛刻的标准。尽½Ž¡å¾ˆå¤šæ•°å­¦å®¶¿U°é¢‚Weylå’ŒBrouwer的基本想法是正确的,但是他们自èín ¾l§ç®‹ä¸å—òq²æ¶‰åœ°å·¥ä½œç€åQŒå³æŒ‰â€œè€â€çš„å®ÒŽ˜“çš„æ–¹å¼æžä»–们自己的数学ã€?
      2åQŽHilbert˜q½éšç€ä¸‹é¢˜q™ä¸ªå¤©æ‰çš„æ€æƒ³åŽ»è®ºè¯â€œç»å…¸â€çš„(å³ç›´è§‰ä¸»ä¹‰ä»¥å‰çš„)æ•°å­¦åQšå³ä½¿åœ¨ç›´è§‰ä¸ÖM¹‰¾pÈ»Ÿä¸­ï¼Œä¹Ÿå¯ä»¥å¯¹¾lå…¸æ•°å­¦æ˜¯å¦‚ä½•è¿½Ž—çš„¾l™å‡ºä¸¥æ ¼çš? 说明。也ž®±æ˜¯è¯´äh们å¯ä»¥æ˜q°ç»å…¸ç³»¾lŸæ˜¯å¦‚何工作的,ž®½ç®¡äºÞZ»¬ä¸èƒ½è®ø™¯˜q™ç§å·¥ä½œã€‚因此有å¯èƒ½ç›´è§‰ä¸ÖM¹‰åœ°è¯æ˜Žï¼š¾l典的程åºå†³ä¸å¯èƒ½å¼•å‘矛盾。显然这æ ïLš„è¯æ˜Žæ˜? 很困隄¡š„åQŒä½†æ˜¯å¯¹äºŽæ€Žæ ·æ‰èƒ½è¾‘Öˆ°å®ƒï¼Œæœ‰ç€æŸäº›å¯ç¤ºã€‚按˜q™ä¸ªæ–ÒŽ¡ˆ˜q›è¡Œå·¥ä½œåQŒæœ‰å¯èƒ½æä¾›ä¸€ä¸ªåœ¨ä¸Žç›´è§‰ä¸»ä¹‰ç³»¾lŸç›¸åçš„åŸºç¡€ä¸‹è¯æ˜Žç»å…¸æ•°å­¦çš„æœ€ä¸ºå€¼å¾—é‡è§†çš„è¯æ˜Žã€? 臛_°‘åQŒè¿™ä¸ªè§£é‡Šåœ¨å¤§å¤šæ•°æ•°å­¦å®¶æ„¿æ„接å—的数学哲学系¾lŸä¸­ž®†æ˜¯åˆæ³•çš?
      3. 在试囑־立这个规划的大约å年之åŽåQŒG6del作出了最为值得铭记的结果。这个结果,如果没有æŸäº›é™„加的ä¸å¼•è“v误解的说明,那是ä¸èƒ½ä½œç»å¯¹ç²¾¼‹®çš„陈述的ã€? 它的基本内容是这æ ïLš„åQšå¦‚果一个数学系¾lŸåƈä¸å¼•å‘矛盾,那么˜q™äšg事实åQŒä‹É用该¾pÈ»Ÿçš„ç¨‹åºæ˜¯ä¸å¯è¯æ˜Žçš„。GOdelçš„è¯æ˜Žæ»¡­‘Ïx•°å­¦ä¸¥è°¨æ€§çš„æœ€ä¸¥æ ¼çš„æ ‡å‡†â€”â€? 直觉ä¸ÖM¹‰çš„æ ‡å‡†ã€‚它对Hilbert¾U²é¢†çš„媄å“作用引起了æŸäº›äº‰è®ºåQŒä¸˜q‡è¯´ç†å¤ªæŠ€æœ¯åŒ–了。我现在的观点也和许多ähä¸€æ øP¼Œè®¤äØ“G6delå·²ç»è¯æ˜Žäº? Hilbert的纲领本质上是无用的ã€?
      4åQŽåœ¨Hilbert或Brouweræ„ä¹‰ä¹‹ä¸‹è®ø™¯¾lå…¸æ•°å­¦çš„ä¸»è¦æƒ³æ³•å·²¾l过åŽÖMº†ã€‚大部分数学家决定ä‹É用ä“Qæ„çš„¾pÈ»Ÿã€‚æ€ÖM¹‹¾l典数学˜q‡åŽ»æ›¾äñ”生的¾l“果既是é›? è‡´çš„åˆæ˜¯æœ‰ç”¨çš„。å³ä½¿äh们ä¸èƒ½ç»å¯¹åœ°¼‹®å®šå®ƒçš„çŽ°å®žæ€§ï¼Œä½†æ˜¯æŠŠå®ƒä½œäØ“åŸºç¡€˜q˜æ˜¯½E›_¦¥çš„,如åƒç”µå­çš„存在那栗÷€‚因此,如果äºÞZ»¬æ„¿æ„接嗿U‘å­¦åQŒähä»¬å°±åŒæ ·èƒ½æŽ¥å—ç» å…¸çš„æ•°å­¦¾pÈ»ŸåQŒç”šè‡›_¯¹ç›´è§‰ä¸ÖM¹‰çš„æŸäº›æœ€åˆçš„æ‹¥æŠ¤è€…æ¥è¯ß_¼Œ˜q™æ ·çš„观点也æˆäØ“å¯æŽ¥å—了。当å‰å…³äºŽâ€œåŸº¼‹€â€çš„è®ÞZº‰åQŒç¡®å®žä¸å¤ªç´§å‡‘了åQŒä½†æ˜¯ï¼Œ¾lå…¸¾pÈ»Ÿž®†è¢«å¤§å¤šæ•îCh è€Œä¸æ˜¯å°‘æ•îCh抛弃的想法,ä¼ég¹Žæœ€ä¸å—‹Æ¢è¿Žã€?
  我对˜q™ä¸ªè®ÞZº‰çš„æ²¿é©ï¼Œå·²ç»ä½œäº†å¦‚此详细介ç»åQŒå› ä¸ºæˆ‘惌™¿™æ˜¯æœ€è°¨æ…Žçš„对数学的严格性是ä¸å¯æ”¹å˜çš„说法的异议。这å‘生在我们自íw«çš„æ—¶ä»£åQŒæˆ‘惭愧地知é“自己关于ç»å¯¹çš„æ•°å­¦çœŸç†æ€§çœ‹æ³•,在这一时期是怎样å®ÒŽ˜“地改å˜çš„åQŒåƈ且是怎样相ç‘ô地改å˜äº†ä¸‰æ¬¡çš„ã€?
      我希望上˜q°å äº†æˆ‘文章一åŠç¯‡òq…的三个例å­å·²èƒö以说明许多最好的ç‰|„Ÿæ¥è‡ªäºŽç»éªŒã€‚很隄¡›¸ä¿¡ï¼Œå­˜åœ¨ç€ä¸Žäh¾cÀL‰€æœ‰ç»éªŒç›¸è”çš„ã€ç»å¯¹çš„ã€ä¸å¯å˜åŠ¨çš„æ•°å­¦ä¸¥æ ¼æ€§çš„æ¦? å¿üc€‚关于这个问题,我ä¼å›ùN‡‡å–一¿U低姿æ€ï¼Œä¸ç®¡ä½ å¯¹å“²å­¦æˆ–认识论æŒä½•¿Uå爱,ä»ÖM½•一个了解数学的人,都会实际感å—åˆîC¸€¿Uç»éªŒï¼Œå®ƒå¾ˆž®‘会支挘q™æ ·çš„å‡è®¾ï¼šå­? 在一个先验的数学严格性的概念。然而,我的文章˜q˜æœ‰å¦å¤–一事,现在我试图è{å‘这部分ã€?
      对ä“Q何数学家æ¥è¯´åQŒå¾ˆéš„¡›¸ä¿¡æ•°å­¦æ˜¯ä¸€é—¨çº¯¾_¹ç»éªŒç§‘学,或者说åQŒæ‰€æœ‰æ•°å­¦æ¦‚念都èµähºäºŽç»éªŒä¸»ä½“。首先让我们æ¥è€ƒå¯Ÿé™ˆè¿°çš„第二部分。现代数学中有儿U儿 ·é‡è¦? 部分åQŒå®ƒçš„ç»éªŒæ¥æºæ˜¯ä¸å¯˜q½æº¯çš„。或者说åQŒå¦‚æžœå¯ä»¥è¿½æº¯çš„è¯ï¼Œä¹Ÿæ˜¯å¦‚此间接åQŒæ˜¾ç„¶åœ°è‡ªå®ƒå‰²æ–­å®ƒçš„¾l验æ ÒŽºä¹‹åŽåQŒå°±é¢è²Œå…¨éžäº†ã€‚代数符åäh˜¯ä¸ÞZº†æ•°å­¦æœ¬èínçš„ä‹É ç”¨è€Œå‘æ˜Žçš„。当然也å¯ä»¥åˆç†åœ°æ–­­a€åQšå®ƒåŠ å¼ºäº†ä¸Ž¾l验的蔾p»ï¼Œä½†æ˜¯åQŒçŽ°ä»£çš„æŠ½è±¡ä»£æ•°åQŒå·²¾læ„ˆæ¥æ„ˆæœç€ä¸Žç»éªŒå¾ˆž®‘相è”的方å‘å‘展。关于拓扑也å¯ä»¥˜q™æ ·è®ŒÓ€‚在所 有这些领域,数学家主观上的æˆåŠŸæ ‡å‡†å’Œä½œç”¨ä»·å€û|¼Œæ˜¯è‡ªíw«ç›¸å®V€ç¬¦åˆç¾Žå­¦å’Œè„Þq¦»(或几乎脱¼›?¾l验(关于˜q™äº›åQŒæˆ‘ž®†è¿›ä¸€æ­¥å™˜q?。在集åˆè®ÞZ¸­åQŒè¿™æ›´äؓ明显åQ? 一个无½IïLš„“幂â€å’Œâ€œåºâ€ï¼Œå¯ä»¥æ˜¯æœ‰é™æ•°æ¦‚念的推òq¿ï¼Œä½†æ˜¯åœ¨ä»–们的无é™å½¢å¼ä¸?特别是“幂â€?åQŒå®ƒä»¬å’Œ˜q™ä¸ªä¸–界很难有ä“Q何蔾p…R€‚å¦‚æžœæˆ‘ä¸æƒ³é¿å…æŸäº›æŠ€å·§ï¼Œ 我能够用数集ç†è®ºä½œäØ“ä¾‹å­æ¥è¯¦¾l†åœ°å™è¿°˜q™ä¸€ç‚V€‚“选择公ç†â€é—®é¢˜ï¼Œæ— é™â€œå¹‚â€çš„â€œå¯æ¯”较性â€ï¼Œâ€œè¿ž¾l­ç»Ÿâ€é—®é¢˜ç­‰½{‰ï¼Œä¹Ÿæ˜¯å¦‚æ­¤ã€‚åŒæ ïLš„评述å¯ä»¥åº”用到实函数 论和实点集论åQšå°½½Ž¡å®ƒä»¬å¯ä»¥è¢«è®¾æƒ³æˆæ˜¯æŠ½è±¡çš„,ä¸å¯åº”用的学¿U‘,òq¶ä¸”按这¿Uç²¾¼œžæ¥çœ‹ï¼Œå‡ ä¹Žæ€ÀL˜¯é›…致的,然åŽåœ¨åòq´ä¹‹åŽï¼Œæœ‰çš„å¯èƒ½åœ¨ä¸€ä¸ªä¸–¾Uªä¹‹åŽï¼Œå´å˜å¾—对 物ç†å­¦å分有用。它们主è¦åœ°ä»ç„¶æ˜¯åœ¨˜q½æ±‚è±¡å¾æ€§çš„ã€æŠ½è±¡çš„ã€éžåº”用的精¼œžã€?
      所有这¿U情况,以åŠå®ƒä»¬çš„å„¿U组åˆçš„事例å¯ä»¥ä¸æ–­é‡å¤åQŒä½†  是,我想转到我å‰é¢æŒ‡å‡ø™¿‡çš„第一斚w¢åŽ»ï¼šæ•°å­¦æ˜¯ä¸€é—¨ç»éªŒç§‘å­¦å—?或者更¾_„¡¡®åœ°è¯´åQŒæ•°å­¦çœŸçš„æ˜¯æŒ‰ç»éªŒç§‘学那样实è·ëŠš„å?或者,  更一般地è¯ß_¼šæ•°å­¦å®¶å’Œä»–çš„è¯ùN¢˜çš„æ ‡å‡†å…³¾pÀL˜¯ä»€ä¹?ä»–å‘往的æˆåŠŸæ ‡å‡†æ˜¯ä»€ä¹?什么媄å“ã€ä»€ä¹ˆè€ƒè™‘在控制和指引ç€ä»–的努力å‘?
      ç„¶åŽåQŒè®©æˆ‘们æ¥çœ‹åQŒæ•°å­¦å®¶å¸¸è§„的工作方法和自然¿U‘学家工作方法的差别在哪里。这¿U差别的æŒç®‹åQŒæ˜¾ç„¶åª„å“了从ç†è®ºå­¦¿U‘到实验学科åQŒç‘ô而从实验学科到æ˜q°å­¦¿U? 之间的差别。因而让我们把数学与最相近于数学范畴的学科——ç†è®ºå­¦¿U‘作一比较。让我们在这里选å–一个与数学最相近的学¿U‘——ç†è®ºç‰©ç†ã€‚数学和ç†è®ºç‰©ç†å®žé™… 上有ç€è®¸å¤šå…±åŒä¹‹å¤„。正如我å‰é¢å·²è¯´˜q‡çš„åQŒEuclid几何¾pÈ»Ÿæ˜¯ç»å…¸åŠ›å­¦å…¬ç†æ˜q°çš„原型。类似的现象是热力学的陈˜qŽÍ¼Œå……满ç€å¦‚åŒMaxwellçš„æ˜q°ç”µ 动力学系¾lŸï¼Œä»¥åŠç‹­ä¹‰ç›¸å¯¹è®ºçš„å¥å­ã€‚此外认为ç†è®ºç‰©ç†ä¸½Ž¡æ˜¯åˆ†ç±»çš„还是综åˆçš„åQŒéƒ½ä¸æ˜¯è§£é‡ŠçŽ°è±¡çš„æ€åº¦åQŒä»Šå¤©å·²ä¸ºå¤§å¤šæ•°ç†è®ºç‰©ç†å­¦å®¶æ‰€æŽ¥å—。这æ„味ç€åQŒè¿™ç? 论æˆåŠŸçš„æ ‡å‡†åQŒåªéœ€çœ‹ä¸€çœ‹å®ƒæ˜¯å¦èƒ½å¾ç«‹ä¸€ä¸ªç®€å•的和雅致的åQŒåˆ†¾cÈš„或综åˆçš„能概括许多现象的框架;˜q™äº›çŽ°è±¡å¦‚æžœæ²¡æœ‰˜q™ä¸ªæ¡†æž¶ž®†ä¼šæ˜‘Ö¾—夿‚å’Œå‚å·®ä¸é½çš„åQŒè¿› 而看它是å¦èƒ½æ¦‚括没有考察到的或者æå‡ºæ¡†æž¶æ—¶ž®šä¸çŸ¥æ™“的现è±?˜q™åŽé¢ä¸¤¿U说法代表一个ç†è®ºçš„¾lŸä¸€æ€§å’Œé¢„è§åŠ?。现在展½Cºåœ¨˜q™é‡Œçš„æ ‡å‡†â€”—显然æžå¤§åœ°æ‰©å……äº? ¾ŸŽå­¦çš„æ€§è´¨åQŒç”±äºŽè¿™ä¸ªç†ç”±ï¼Œå®ƒå’Œä½ å°†è¦çœ‹åˆ°çš„å¯ÒŽ•°å­¦æ¥è¯´å‡ ä¹Žå®Œå…¨æ˜¯¾ŸŽå­¦çš„æˆåŠŸçš„æ ‡å‡†æ˜¯å¾ˆå¯†åˆ‡ç›¸è”的。因此,我们现在å¯ä»¥æŠŠæ•°å­¦å’Œä¸Žå®ƒæœ€ç›¸è¿‘的自然科学作æ¯? 较,与我æƒÏxˆ‘已说明了的和数学有许多共åŒä¹‹å¤„çš„ç†è®ºç‰©ç†ç›¸æ¯”较。然而在实际的惯用的æ–ÒŽ³•中差别是巨大的和基本的,ç†è®ºç‰©ç†çš„ç›®æ ‡ä¸»è¦æ¥è‡ªâ€œå¤–界â€ï¼Œå¤§éƒ¨åˆ? 是由于实验物ç†å­¦çš„需è¦ã€‚他们几乎æ€ÀL˜¯èµ·å› äºŽæƒ³è§£å†³æŸä¸€éšùN¢˜åQŒé¢„è§å’Œå调的æˆåŠŸé€šå¸¸ä¼šè·Ÿç€åˆ°æ¥ã€‚è¿™çœ‹æ¥æ˜¯ç›¸ä¼¼çš„åQŒè¿›å±?预è§å’Œåè°?æ¥è‡ªç ”ç©¶˜q‡ç¨‹åQŒè¿™¿Uç ” ½I¶å¯¹è§£å†³æŸäº›åŽŸå…ˆå­˜åœ¨çš„éš¾é¢˜æ˜¯å¿…ç„¶è¦ç»åŽ†çš„ã€‚ç†è®ºç‰©ç†ä¸­çš„ä¸€éƒ¨åˆ†å·¥ä½œæ˜¯äØ“äº†æŽ¢ç´¢æŸ¿Uéšœ¼„,˜q™ç§éšœç¢çš„“çªç ´â€æä¾›äº†å‘展åQŒå¦‚我已æåŠçš„,˜q™äº›éšùN¢˜é€šå¸¸æºäºŽ 实验;ä½†æ˜¯æœ‰æ—¶å®ƒä»¬å´æ˜¯å¯æŽ¥å—çš„ç†è®ºæœ¬èín中å„部分之间的ä¸å调之处åQŒå½“ç„Óž¼Œä¾‹å­ä¹Ÿæ˜¯ä¸å°‘çš„ã€?
      Michelsonå®žéªŒå¯ÆD‡´ç‹­ä¹‰ç›¸å¯¹è®ºï¼ŒæŸäº›ç”늦»ç”µä½å’Œå…‰è°Þq»“构的éšùN¢˜å¯ÆD‡´é‡å­åЛ学åQŒè¿™äº›å°±æ˜¯ç¬¬ä¸€¿U情å†ëŠš„例å­;狭义相对论和Newton引力ç†è®ºä¹‹é—´çš? 冲çªå¯ÆD‡´òq¿ä¹‰ç›¸å¯¹è®ºï¼Œ˜q™æ˜¯½W¬äºŒ¿U情å†ëŠš„例å­åQŒè¿™é‡Œä»Žä»ÖM½•æ–šw¢çœ‹ï¼Œç†è®ºç‰©ç†çš„问题都是客观地¾l™å®šçš„ï¼Œè€Œä½œä¸ø™¡¡é‡æˆåŠŸçš„æ ‡å‡†åQŒå¦‚æˆ‘åœ¨ä¸Šé¢æ‰€æŒ‡å‡ºçš„ï¼Œä¸»è¦æ˜¯ç¾Žå­? 的。但是也有一部分åQŒæˆ‘ä»¬ä¸Šé¢æåŠè¿‡çš„具有基本的“çªç ´â€çš„问题åQŒå¾ˆéš¾è¯´å®ƒè“væºäºŽå®¢è§‚å®žåœ¨ã€‚æ®æ­¤å¯è§ï¼Œç†è®ºç‰©ç†çš„课题几乎å„个时期都是éžå¸”R›†ä¸­çš„åQŒä¸€åˆ‡ç‰© ç†å­¦å®¶çš„æœ€é‡è¦çš„努力都集中在一ã€äºŒä¸ªå分尖é”的领域åQ?920òq´ä»£å’?930òq´ä»£åˆï¼Œé›†ä¸­åœ¨é‡å­ç†è®ºï¼Œ1930òq´ä»£åŽåŠæœŸé›†ä¸­åœ¨åŸºæœ¬¾_’å­å’Œæ ¸¾l“构斚w¢ž®? 是一些例å­ã€?
      æ€Èš„说æ¥åQŒæ•°å­¦çš„æƒ…况ž®×ƒ¸åŒäº†ã€‚由于在特点ã€é£Žæ ¹{€ç›®æ ‡å’Œå½±å“æ–šw¢ç›æ€º’之间òq¿æ³›çš„差别,数学被分æˆè®¸å¤šåˆ†æ”¯ã€‚它昑־—å’Œç†è®ºç‰©ç†æžä¸ºé›†ä¸­çš„æƒ…况å分相å。今 天大多数物ç†å­¦å®¶ä»ç„¶éœ€è¦å…·å¤‡æœ‰å…³ä»–的课题的有用知识一åŠä»¥ä¸Šï¼Œæˆ‘怀疑,ä»ÖM½•一个现在在世数学家会具备四分之一以上与他的课题有关的有用知识。在一个数å­? 分支中“客观地â€ç»™å‡ºçš„“é‡è¦â€é—®é¢˜å¯ä»¥ç›¸åŽÈ”š˜qœã€‚数学家选这个课题,或者选其他课题,基本上是自由的,然而ç†è®ºç‰©ç†çš„一个“é‡è¦â€é—®é¢˜å¸¸å¸¸æ˜¯ä¸€¿Uå¿…™åÕdŠ  以解决的一个冲½Hã€çŸ›ç›¾ã€‚数学家有广泛的领域供他转æ¢é€‰é¢˜åQŒä»–在选题斚w¢å¯ä»¥æœ‰é€‚当的自由,而对于决定选题åQŒé€‰é¢˜çš„æ ‡å‡†å’ŒæˆåŠŸçš„æ ‡å‡†ï¼Œä¸»è¦æ˜¯ç¾Žå­¦çš„说法æ˜? 正确的。我感到˜q™ä¸ªæ–­è¨€æ˜¯ä¼šå¼•è“v争论的,˜q™æ˜¯ä¸å¯èƒ½â€œè¯æ˜Žâ€çš„。有充分的ç†ç”±å¯ä»¥è¯´åQŒè¿™é‡Œçš„¾ŸŽå­¦ç‰¹ç‚¹ç”šè‡³æ¯”我们å‰é¢è®¨è®ºç†è®ºç‰©ç†æ—¶æ‰€æåˆ°çš„例å­è¿˜è¦æ›´ä¸ºçª 出。ähä»¬æœŸå¾…ä¸€æ¡æ•°å­¦å®šç†æˆ–者ç†è®ºï¼Œä¸ä»…è¦èƒ½ç”¨ç®€å•的和雅致的方å¼åŽÀL˜q°è€Œä¸”˜q˜è¦èƒ½åŽ»åˆ’åˆ†å¤§é‡çš„原先根本ä¸åŒçš„å„别情况。äh们也期待它的构造在“美学上â€? 的“雅致性â€å’Œåœ¨å™˜q°é—®é¢˜æ—¶çš„自如性,如果你能自如地噘q°é—®é¢˜ï¼ŒæŠŠæ¡å®ƒå’Œä¼å›¾è§£å†³å®ƒï¼Œé‚£ä¹ˆæŸäº›ä½¿äh惊奇的探索过½E‹ä¸­é‡åˆ°çš„æ›²æŠ˜ä¼šå˜å¾—å®ÒŽ˜“了等½{‰ã€‚如果推å¯? æ˜¯å†—é•¿çš„æˆ–è€…å¤æ‚çš„åQŒåº”该存在æŸäº›ç®€å•的一般原则,å¯ä»¥ç”¨æ¥â€œè¯´æ˜Žâ€å¤æ‚性和曲折性,˜q™äº›æ ‡å‡†æ˜„¡„¶ž®±æ˜¯å¯¹ä“Q何创造性艺术所æçš„æ ‡å‡†ã€‚所有这些和¾l验¿U‘å­¦ç›? 比,在艺术气氛方é¢å°†æ›´ä¼š¾U¯çÑa和简å•ã€?
      你将会注æ„到åQŒæˆ‘䏿›¾æåˆ°æ•°å­¦ä¸Žå®žéªŒç§‘学和技术科学之间的比较。这里,æ–ÒŽ³•上的和一般气氛上的差别是太明显了ã€?
      æ•°å­¦æ¦‚å¿µæ¥æºäºŽç»éªŒï¼Œž®½ç®¡æœ‰æ—¶¾p»è°±æ˜¯é•¿˜qœçš„æ›²æŠ˜çš„,˜q™ç§è¯´æ³•是一个适当的对真ç†çš„逯D¿‘ã€‚çœŸç†æ˜¯å¤ªå¤æ‚了åQŒä»¥è‡Œ™ƒ½å®¹çº³ä»ÖM½•事物åQŒè€Œä¸æ˜¯é€ÆD¿‘。但是一旦它们被 设想出æ¥åŽï¼Œ˜q™ä¸ªä¸»é¢˜å¼€å§‹æŒ‰å®ƒè‡ªå·Þq‰¹æœ‰çš„‹zÕdŠ›ç”Ÿé•¿åQŒåƈ且在几乎完全按美学动机给出的创造物斚w¢;它将比ä“Q何事物,特别是ç»éªŒç§‘å­¦æ¥å¾—好。但是,我相信还æœ? 问题需è¦è¿›ä¸€æ­¥å¼ºè°ƒï¼Œå› äؓ一门数学学¿U‘远¼›Õd®ƒçš„ç»éªŒæ¥æºï¼Œæˆ–者说åQŒå¦‚果仅是简接地æ¥è‡ªâ€œçŽ°å®žæ€§â€ï¼Œæ˜¯ç”±çŽ°å®ž‹È€åŠÞq”Ÿæˆçš„½W¬äºŒå’Œç¬¬ä¸‰ä»£å­¦ç§‘çš„è¯åQŒè¿™æ˜¯ä¸€ä¸ªæœ€å¤? çš„å±é™©ã€‚它ž®†å˜å¾—æ„ˆæ¥æ„ˆ¾ŸŽå­¦åŒ–ï¼Œæ„ˆæ¥æ„ˆè‰ºæœ¯åŒ–。如果这个领域是ç”Þq›¸å…Œ™”çš„ä»ç„¶ä¸Ž¾l验紧密相è”的学¿U‘å›´¾l•ç€çš„è¯åQŒæˆ–者说åQŒå¦‚果这些学¿U‘处于å—到特ŒDŠçš„ã€è®­¾l? 有素的äh的媄å“之下的è¯ï¼Œ˜q™ä¸æ˜¯å事。但是也有一¿Ué‡å¤§çš„å±é™©åQŒå­¦¿U‘åªæ²¿ç€˜qœç¦»æ ÒŽºçš„æµä¸€ç›´æŒ¾l­å±•开下去åQŒåƈ且分割æˆå¤šç§æ²¡æœ‰æ„义的分支,学科ž®†å˜æˆä¸€¿U? ¾J烦的资料堆¿U¯ã€‚梭a€ä¹‹ï¼Œ˜qœç¦»¾léªŒæ¥æºåQŒä¸€ç›´å¤„于“抽象的â€è¿‘亲交é…之中,一门数学学¿U‘将有退化的å±é™©ã€‚开始时åQŒé£Žæ ¼æ˜¯å¤å…¸çš„,当它昄¡¤ºå‡ºæ€ªå¼‚æ—Óž¼Œå±é™©ž®? æ¥äº†ã€‚覾l™å‡º˜q™æ ·çš„例孿˜¯å®ÒŽ˜“的,它们沿ç€ä¸€äº›ç‰¹ŒDŠè¿›å±•进入怪异的,以至高度奇异的状æ€ï¼Œä½†æ˜¯¾l†è¯´˜q™äº›ž®±å¤ªæŠ€æœ¯åŒ–了ã€?
      在ä“Q何事件中åQŒä¸½Ž¡å®ƒå·²è¾¾åˆîC»€ä¹ˆæ ·çš„阶ŒDµï¼Œå¯ÒŽˆ‘æ¥è¯´ä»…有的补救是回å¤åˆ°æºæ³‰åŽ»åQšæŠŠå®ƒæˆ–å¤šæˆ–ž®‘åœ°é‡æ–°å¯¹åº”到ç»éªŒæ¦‚念中厅R€‚æˆ‘ç›æ€¿¡åQŒè¿™äº›è¦æ±‚过åŽÀL˜¯ä¿æŒå­¦ç§‘çš? ç”Ÿæ°”å‹ƒå‹ƒå’Œæœ‰æ•ˆæ€§çš„å¿…è¦æ¡äšgåQŒä»ŠåŽï¼Œå®ƒåŒæ ·å°†ä»ç„¶æ˜¯æ­£¼‹®çš„ã€?img src ="http://www.tkk7.com/WangBNU/aggbug/13584.html" width = "1" height = "1" />

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